Par ordenado
Um dos principais conceitos é o de par ordenado. Chamamos de par todo conjunto formado por dois elementos. Sendo assim {1, 2}, {5, 8}, {a, c} indicam pares, mas observe que pela teoria de conjunto quando invertemos a ordem dos elementos não produzimos um novo par, ou seja:
{5, 8} = {8, 5}
Mas nesse caso precisamos distinguir os pares ordenados pela ordem dos seus elementos. Sendo assim admitimos a noção de par ordenado como um conceito primitivo. Para cada elemento a e cada elemento b, admitiremos a existência de um terceiro elemento (a, b), que denominamos de par ordenado, de modo que se tenha:
\( \left(a, b\right) = \left(c, d\right) \Leftrightarrow a = c \; e \; b = d \)
Produto cartesiano
Vamos, então, entender o produto cartesiano. Dados dois conjuntos, E e F, não vazios, chama-se produto cartesiano de E por F o conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y) tais que x pertence a E e y pertence a F.
\( E \times F = \left\{\left(x, y\right)\;|\; x \in E \; e \; y \in F\right\}\)
Relação binária
Chamamos de relação binária de E em F todo subconjunto \(E \times F\). Ou seja, R é um conjunto de pares ordenados (a, b) pertencentes a \(E \times F\).
Uma relação binária é um sistema R formado por:
- um conjunto de partida (um conjunto E)
- um conjunto de chegada (um conjunto F)
- uma sentença aberta p(x, y), em que x é uma variável em E e y uma variável em F.
Para todo par ordenado \((a, b) \in E \times F\) a proposição p(a, b) é verdadeira ou falsa.
Quando p(a, b) é verdadeira dizemos que “a está relacionado com b mediante ou através de R”.
Quando p(a, b) é falsa dizemos que “a não está relacionado com b mediante ou através de R”.
Domínio de uma relação
Chamamos de domínio de R o subconjunto de E formado pelos elementos x para cada um dos quais existe algum y em F tal que x esta relacionado com y mediante R.
\(D(R) = \left\{x \in E\;|\; \exists \; y \in F: xRy\right\}\)
Imagem de uma relação
Chamamos de domínio de R o subconjunto de F formado pelos elementos y para cada um dos quais existe algum x em E tal que x esta relacionado com y mediante R.
\(D(R) = \left\{y \in F\;|\; \exists \; y \in E: xRy\right\}\)
Inversa de uma relação
Se temos uma relação R de E em F. Chamamos de relação inversa de R, e indicamos por \(R^{-1}\), a seguinte relação de F em E:
\(R^{-1} = \left\{\left(x, y\right) \in F \times E\;|\;\left(x, y\right) \in R\right\}\)
Propriedades da relação inversa
i) \(D(R^{-1}) = Im(R)\)
ii) \(Im(R^{-1}) = D(R)\)
iii) \((R^{-1})^{-1} = R\)
Relação sobre um conjunto
Quando E = F e R é uma relação de E em F, dizemos que R é uma relação sobre E ou, ainda, R é uma relação em E.
Propriedades de uma relação R sobre E
Reflexiva
Uma relação R é reflexiva quando todo elemento de E se relaciona consigo mesmo. Ou seja, quando, para todo \(x \in E\), vale xRy.
Simétrica
Dizemos que R é simétrica se vale yRx sempre que vale xRy. Ou seja, se xRy, então yRx.
Transitiva
Dizemos que R é transitiva se vale xRz sempre que vale xRy e xRz. Ou seja, se xRy e xRz, então xRz.
Antissimétrica
Dizemos que R é antissimétrica se x = y, sempre que xRy e yRx. Ou seja, se xRy e yRx, então x = y.
Referências
Domingues. Hygino H., 1934 – Álgebra moderna: volume único / Higino H. Domingues. Gelson Iezzi. – 4. ed. reform. – São Paulo: Atual, 2003.
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