O que é função afim?
Faz parte do grupo das funções elementares. Também chamada de função polinomial do 1° grau, é toda função \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por uma lei da forma \(f\left(x\right) = ax + b\) com \(a, \; b \in \mathbb{R} | a \neq 0\).
Por exemplo:
\(f\left(x\right) = 3x + 2\)
\(f\left(x\right) = -5x – 1\)
\(f\left(x\right) = -x\)
\(f\left(x\right) = 7x\)
Gráfico de uma função do 1º grau
Podemos demonstrar que o gráfico da função do 1° grau é uma reta que não é horizontal (paralela a Ox) e também não é vertical (paralela a Oy). Em particular se a representação gráfica de uma relação R é uma reta horizontal então R não é uma função pois um antecedente x qualquer terá infinitas imagens y.
a) Raiz da função \(f(x) = ax + b \left(a \neq 0\right)\).
Já vimos que a raiz de uma função é dada quando fazemos f(x) = 0. Desse modo temos:
\[x\;é\;raiz\; \Leftrightarrow f(x) = 0 \Leftrightarrow ax + b = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{b}{a}\]
A raiz x determina o ponto \(P = \left(-\frac{b}{a}, 0\right)\) de intersecção com o eixo das abscissas.
b) Intersecção com Oy
Basta fazermos x = 0.
\[x = 0 \leftarrow y = f(0) = a \cdot 0 + b = b\]
Fazendo x = 0 determinamos o ponto P1(0, b) que intercepta o eixo das ordenadas.
[gráfico em produção]
Ou seja, basta encontrarmos os interceptos (-b/a, 0) e (0, b) para traçar o gráfico de uma função do 1° grau.
Nomenclatura
\(\alpha\) = inclinação da reta r
- a = \(tg \alpha\) = coeficiente angular da função f;
- b = coeficiente linear da função f;
- \(\alpha\) inclinação da reta r.
Para a função do 1° grau f(x) = ax + b, podemos mostrar que:
- \(a > 0 \Leftrightarrow f(x)\) é crescente (0°< \(\alpha\) < 90°)
- \(a < 0 \Leftrightarrow f(x)\) é decrescente (90°< \(\alpha\) < 1800°)
Quando b = 0 a reta r passa pela origem (0, 0).
Qual o domínio, contradomínio, imagem de uma função do 1º grau?
Para toda função do primeiro grau temos que:
- \(D_{f} = \mathbb{R}\)
- \(CD_{f} = \mathbb{R}\)
- \(Im_{f} = \mathbb{R}\)
Toda função do 1º grau é uma bijeção de \(\mathbb{R}\) em \(\mathbb{R}\).
Referências:
Iezzi, Gelson. Fundamentos da matemática elementar, 1: conjuntos, funções / Gelson Iezzi, Carlos Murakami. – 9. ed. — São Paulo: Atual, 2013.
Aranha, Álvaro Zimmermann. Funções e logaritmos/Álvaro, Zimmermann Aranha, Manoel Benedito Rodrigues. -2.ed. rev. melhor. – São Paulo: Policarpo. 1994 – (Exercícios de matemática; v.2).
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