Operações com vetores
Neste post você irá aprender
- Como fazer adição de vetores?
- Quais são as propriedades da adição?
- O que é diferença de vetores?
- Como é a multiplicação de um vetor por um número real?
- Quais as propriedades da multiplicação de um vetor por um número real?
- Como calcular o versor de um vetor?
É importante que saiba responder essas questões de acordo com o que está no texto abaixo.
Quando dois vetores são iguais?
Dois vetores quaisquer \(\overrightarrow{u} = \left(x_{1}, y_{1}\right)\) e \(\overrightarrow{v} = \left(x_{2}, y_{2}\right)\) temos que \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}\) se, e somente se, \(x_{1} = x_{2}\) e \(y_{1}, y_{2}\)
Adição de vetores
Considere dois vetores \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\) representados pelos segmentos AB e BC. O vetor \(\overrightarrow{s}\) que é, por definição, a soma dos vetores \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\) é derminado pelos pontos A e C.
\[\overrightarrow{s} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\]
Propriedades da adição
Comutativa
\[\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}\]
Associativa
\[\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right) +\overrightarrow{w} = \overrightarrow{v} + \left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{w}\right)\]
Elemento neutro
\[\overrightarrow{v} + 0 = \overrightarrow{v}\]
Inverso aditivo
\[\overrightarrow{v} + \left(-\overrightarrow{v}\right) = -\overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}\]
Diferença de vetores
A diferença de dois vetores \( \overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\), e é representado por:
\[ \overrightarrow{d} = \overrightarrow{u} – \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} +\left(- \overrightarrow{v}\right)\]
Multiplicação de um vetor por um número real
Dado um vetor \(\overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{0}\) e um número \(k \neq 0\), chamamos de produto de um número real k pelo vetor \(\overrightarrow{v}\) o vetor:
\[\overrightarrow{p} = k\overrightarrow{v}\],
tal que:
- módulo: \(\left|\;\overrightarrow{p}\;\right| = \left|\;k\overrightarrow{v}\;\right| = \left|\;k\;\right|\left|\;\overrightarrow{v}\;\right|\);
- direção: a mesma de \(\overrightarrow{v}\)
- sentido: se k > 0 é o mesmo de \(\overrightarrow{v}\), se k < 0 é o contrário de \(\overrightarrow{v}\)
Se \(k = 0 \) ou \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}\), o produto é \(\overrightarrow{0}\).
Considere o vetor \(k\overrightarrow{v}\), com \(\overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{0}\). O que acontece se fizermos k percorrer todo o conjunto dos números naturais? Por exemplo:
\[…\]
\[1\overrightarrow{v}\]
\[…\]
\[1,5\overrightarrow{v}\]
\[…\]
\[2\overrightarrow{v}\]
\[…\]
\[3\overrightarrow{v}\]
\[…\]
\[4,64\overrightarrow{v}\]
\[…\]
Teremos todos os infinitos vetores colineares a \(\overrightarrow{v}\), que são colineares entre si, ou seja, qualquer um deles é um multiplo escalar do outro. Reciprocamente dados dois vetores \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\), colineares, sempre existe \(k \in \mathbb{R}\) tal que \(\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}\).
Propriedades da multiplicação de um vetor por um número real
Se \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\) são dois vetores quaisquer e \(a, b \in \mathbb{R}\) temos que:
Propriedade associativa:
\[a\left(b\overrightarrow{v}\right) = \left(ab\right)\overrightarrow{v}\]
Propriedade distributiva em relação à adição de escalares
\[\left(a + b\right)\overrightarrow{v} = a\overrightarrow{v} + b\overrightarrow{v}\]
Propriedade distributiva em relação à adição de vetores
\[a\left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\right) = a\overrightarrow{u} + a\overrightarrow{v}\]
Propriedade identidade
\[1\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}\]
Versor
O versor de um vetor qualquer não nulo é o vetor unitário:
\[\overrightarrow{u} = \frac{1}{\left|\overrightarrow{v}\right|}\overrightarrow{v}\] ou \[\overrightarrow{u} = \frac{\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{v}\right|}\].
De fato é unitário, pois: \[\left|\overrightarrow{u}\right| = \left|\frac{\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{v}\right|}\right| = \frac{\left|\overrightarrow{v}\right|}{\left|\overrightarrow{v}\right|} = 1\].
Daí, concluímos que o vetor \(\overrightarrow{v}\) é o produto de seu módulo pelo vetor unitário de mesma direção e sentido de \(\overrightarrow{v}\) \[\overrightarrow{v} = \left|\overrightarrow{v}\right|\;\overrightarrow{u}\].
Referências:
STEINBRUCH, Alfredo. Geometria Analítica . 1ª ed. Pearson Universidades, 1995.
