Decomposição de um vetor no espaço
Os vetores de duas coordenadas são chamados de vetores no plano. A forma como trabalhamos com os vetores no espaço é análoga a forma como trabalhamos com eles no plano.
No plano qualquer conjunto \(\left\{\overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}}\right\}\) de dois vetores não colineares é uma base, assim todos os vetores do plano é combinação linear dos vetores da base. Ou seja:
\(\overrightarrow{v} = a_{1}\overrightarrow{v_{1}} + a_{2}\overrightarrow{v_{2}}\)
No espaço é a mesma coisa, só que agora com três coordenadas. No plano qualquer conjunto \(\left\{\overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}}, \overrightarrow{v_{3}}\right\}\) de vetores não coplanares é uma base e todo vetor \(\overrightarrow{v}\) do espaço é combinação linear dos vetores da base.
\(\overrightarrow{v} = a_{1}\overrightarrow{v_{1}} + a_{2}\overrightarrow{v_{2}} + a_{3}\overrightarrow{v_{3}}\)
onde \(a_{1}, a_{2}, a_{3}\) são as componentes de \(\overrightarrow{v}\) em relação à base considerada.
Assim como é no plano, uma base no espaço é ortogonal se os três vetores forem unitários e dois a dois, ortogonais.
Considerando a base canônica \(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\). Estes três vetores tem origem no mesmo ponto O.
- A reta com a direção do vetor \(\overrightarrow{i}\) é o eixo das abscissas (x);
- A reta com a direção do vetor \(\overrightarrow{j}\) é o eixo das ordenadas (y);
- A reta com a direção do vetor \(\overrightarrow{k}\) é o eixo das cotas (z);
cada dupla de eixos determinam um plano coordenado. Assim temos três planos coordenados:
- xOy ou xy
- xOz ou xz
- yOz ou yz
Cada ponto P do espaço vai corresponder a uma terna (a, b, c) de números reais, chamadas coordenadas de P e denominadas abcissa, ordenada e cota, respectivamente.
Operações
Da mesma forma que tínhamos no plano temos no espaço.
Igualdade
Dois vetores \(\overrightarrow{u} = \left(x_{1}, \;y_{1}, \; z_{1}\right)\) e \(\overrightarrow{v} = \left(x_{2}, \; y_{2}, \; z_{1}\right)\) são iguais se, e somente se, \(x_{1} = x_{2}\), \(y_{1} = y_{2}\), \(z_{1} = z_{2}\). Escrevemos que \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}\).
Soma de dois vetores
\(\overrightarrow{u} = \left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) + \overrightarrow{v} = \left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) = \left(x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}, z_{1} + z_{2}\right)\)
Multiplicação de um vetor por um número real
\(a \cdot \overrightarrow{u} = \left(ax_{1}, ay_{1}, az_{1}\right)\)
Vetor no espaço definido por dois pontos
Se \(A(x_{1}, y_{1}, z_{1})\) e \(B(x_{2}, y_{2}, z_{2}\) são dois pontos quaisquer no espaço, então:
\(\overrightarrow(AB) = (x_{2} – x_{1}, y_{2} – y_{1}, z_{2} – z_{1})\)
Referências:
STEINBRUCH, Alfredo. Geometria Analítica . 1ª ed. Pearson Universidades, 1995.
