Para um entendimento completo de inequações é preciso estudar as propriedades da desigualdade. Mas antes disso precisamos ver os axiomas de corpo e os axiomas de ordem. Esses axiomas são usados nas demonstrações das propriedades das desigualdades.
Quais são os axiomas de corpo?
A1 – Propriedade comutativa da adição:
a + b = b + a
A2 – Propriedade associativa da adição:
(a + b) + c = a + (b + c)
A3 – Propriedade comutativa da multiplicação:
ab = ba
A4 – Propriedade associativa da multiplicação:
(ab)c = a(bc)
A5 – Existência do elemento neutro para a adição:
0 + a = a + 0 = a
A6 – Existência do elemento neutro para a multiplicação:
1a = a1 = a
A7 – Existência do oposto (ou inverso aditivo):
a + (-a) = (-a) + a = 0
A8 – Existência do recíproco (ou inverso multiplicativo):
\(\forall a \neq 0, \exists a^{-1} = \frac{1}{a}\) tal que: \(a\cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \cdot a = 1\)
A9 – Propriedade distributiva:
a(b + c) = ab + ac
O que são os axiomas de ordem?
São três os axiomas de ordem. Eles nos permitem dizer se um número real é maior, igual ou menor que outro. Esses axiomas são estabelecidos a partir do conceito primitivo de número real positivo.
\(\mathbb{R}^{*}_{+}\) o conjunto dos números positivos que satisfazem aos seguintes axiomas:
O1 – Se a e b pertencem a \(\mathbb{R}^{*}_{+}\), então a + b e ab também pertencem a \(\mathbb{R}^{*}_{+}\).
\(\left\{a, b\right\} \subset \mathbb{R}^{*}_{+} \Rightarrow (a + b) \in \mathbb{R}^{*}_{+} \wedge (ab) \in \mathbb{R}^{*}_{+}\)
O2 – Para todo número real \(a \neq 0\), ou \(a \in \mathbb{R}_{*}^{+}\) ou \(-a \in \mathbb{R}^{*}_{+}\), um caso excluindo o outro.
O3 – \(0 \notin \mathbb{R}_{*}^{+}\)
Assim, podemos definir \(a > b\), a é maior que b, \(a < b\), a é menor que b, \(a \geq b\), a é maior ou igual a b, \(\leq\), a menor ou igual a b, da seguinte forma:
O que são inequações ou desigualdades?
Considere as funções f(x) e g(x) cujos domínios são subconjuntos de números reais. Qualquer uma das sentenças abertas abaixo é chamada de inequação na incógnita x.
- \(f(x) > g(x)\)
- \(f(x) < g(x)\)
- \(f(x) \geq g(x)\)
- \(f(x) \leq g(x)\)
Por exemplo:
- 3x – 5 > 3 é uma inequação em que f(x) = 3x – 5 e g(x) = 3;
- x – 2 < 2x é uma inequação em que f(x) = x – 2 e g(x) = 2x;
- 5x \(\geq\) 7 – x é uma inequação em que f(x) = 5x e g(x) = 7 – x
- 6x – 1 < 2x é uma inequação em que f(x) = 6x – 1 e g(x) = 2x
O que é domínio de validade de uma inequação?
Chamamos de domínio de validade de uma inequação o conjunto interseção entre o domínio da função f e a função g. Digamos que o domínio de f seja \(D_{1}\) e o domínio de g seja \(D_{2}\) então o domínio de validade é \(D = D_{1} \cap D_{2}\).
O que é solução de uma inequação?
Um número real \(x_{0}\) é solução da inequação f(x) > g(x) se, e somente se, é verdadeira a sentença \(f\left(x_{0}\right) > g\left(x_{0}\right)\).
Por exemplo: 2x + 1 > x + 3 é verdadeira para x = 3 pois,
\(2(3) + 1 > 3 + 3 \Leftarrow 7 > 6\),
é uma sentença verdadeira. Porém para x = 2 temos,
\(2(2) + 1 > 2 + 3 \Leftarrow 5 > 5\),
5 não é maior do que 5. A sentença não é verdadeira.
O que é conjunto solução de uma equação?
Mas observe que a equação tem solução para todo x > 2. Sendo assim chamamos de S o conjunto de todos os números reais x que satisfazem a desigualdade.
A inequação 2x + 1 > x + 3 tem o conjunto solução \(S = \left\{x \in \mathbb{R} | x > 2 \right\}\), isto é, para qualquer \(x \in S\) a sentença \(2x_{0} + 1 > x_{0} + 3\) é verdadeira.
Caso não exista um número real x tal que a sentença f(x) > g(x) seja verdadeira dizemos que o conjunto solução é \(\varnothing\).
Inequação equivalente
Duas inequações são equivalentes se o conjunto solução da primeira é igual ao conjunto solução da segunda.
Por exemplo:
4x + 8 > 0 e 2x + 4 > 0
Observe que as duas inequações possuem o mesmo conjunto solução \(S = \left\{x \in \mathbb{R} | x > -2\right\}\).
Princípios de equivalência
Dada uma inequação podemos obter inequações equivalentes, afim de obter o conjunto solução com mais facilidade. Mas o que podemos fazer para obter inequações equivalentes?
Primeiro princípio
Sejam as funções f(x) e g(x) definidas em \(D_{1}\) e \(D_{2}\), respectivamente. Se a função h(x) é definida em \(D_{1} \cup D_{2}\), as inequações f(x) < g(x) e f(x) + h(x) < g(x) + h(x)são equivalentes em \(D_{1} \cup D_{2}\).
Segundo princípio
Sejam as funções f(x) e g(x) definidas em \(D_{1}\) e \(D_{2}\), respectivamente. Se a função h(x) é definida em \(D_{1} \cup D_{2}\), e tem sinal constante, então:
a) se h(x) > 0, as inequações f(x) < g(x) e f(x)\(\cdot\) h(x) < g(x) \(\cdot\) h(x) são equivalentes em \(D_{1} \cup D_{2}\).
b) se h(x) < 0, as inequações f(x) < g(x) e f(x) \(\cdot\) h(x) > g(x) \(\cdot\) h(x) são equivalentes em \(D_{1} \cup D_{2}\).
Inequações simultâneas
Resolver a desigualdade \(f\left ( x \right ) < g\left ( x \right ) < h\left ( x \right )\) é equivalente a resolver um sistema de duas inequações em x, separadas pelo conectivo e:
\(f\left ( x \right ) < g\left ( x \right ) < h\left ( x \right ) \Leftrightarrow f\left ( x \right ) < g\left ( x \right ) (1)\; e \; g\left ( x \right ) < h\left ( x \right ) (2)\)
Indicando com \(D_{1}\) o conjunto solução de (1) e \(D_{1}\) o conjunto solução de (2), o conjunto solução da dupla desigualdade é \(D = D_{1} \cup D_{2}\).
Inequações-quociente
Sendo f(x) e g(x) duas funções na variável x, as inequações abaixo são chamadas de inequações-quociente.
- \(\frac{f(x)}{g(x)} > 0\)
- \(\frac{f(x)}{g(x)} < 0\)
- \(\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0\)
- \(\frac{f(x)}{g(x)} \leq 0\)
Lembrando sempre que o denominador não pode ser nulo.
Referências:
Iezzi, Gelson. Fundamentos da matemática elementar, 1: conjuntos, funções / Gelson Iezzi, Carlos Murakami. – 9. ed. — São Paulo: Atual, 2013.
Aranha, Álvaro Zimmermann. Funções e logaritmos/Álvaro, Zimmermann Aranha, Manoel Benedito Rodrigues. -2.ed. rev. melhor. – São Paulo: Policarpo. 1994 – (Exercícios de matemática; v.2).
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