As Relações de Girard são igualdades que relacionam as raízes de uma equação algébrica.
As Relações de Girard podem ser expressadas para quaisquer equações algébricas. Porém, em geral, é usada nas equações de 3º e 4º graus e, em raros casos, de 5º grau.
Nas equações de 2° grau:
\(a x^{2}+b x+c=0\)
E, se \(r_{1}\) e \(r_{2}\) forem suas raízes, então:
\begin{aligned} r_{1}+r_{2} &=-\frac{b}{a} \\ r_{1} \cdot r_{2} &=\frac{c}{a} \end{aligned}
1ª relação: Soma das raizes.
$$ \mathbf{S}=\mathbf{r_{1}}+\mathbf{r_{2}}=\left(\frac{-\mathbf{b}+\sqrt{\Delta}}{2 \mathbf{a}}\right)+\left(\frac{-\mathbf{b}-\sqrt{\Delta}}{2 \mathbf{a}}\right)=$$
$$=\frac{(-\mathbf{b}+\sqrt{\Delta})+(-\mathbf{b}-\sqrt{\Delta})}{2 \mathbf{a}}= $$
$$=\frac{-\mathbf{b}+\sqrt{\Delta}-\mathbf{b}-\sqrt{\Delta}}{2 \mathbf{a}}=\frac{-2 \mathbf{b}}{2 \mathbf{a}}=-\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}} $$
Portanto:
$$ \mathbf{S}=\mathbf{r_{1}}+\mathbf{r_{2}}=-\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}} $$
2ª relaçāo: Produto das raizes.
\begin{aligned}
{S}=r_{1} \cdot r_{2} &=\left(\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}\right) \cdot\left(\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}\right)=\frac{(-b)^{2}-(\sqrt{\Delta})^{2}}{4 a^{2}}=\frac{b^{2}-\Delta}{4 a^{2}} \
&=\frac{b^{2}-\left(b^{2}-4 \cdot a \cdot c\right)}{4 a^{2}}=\frac{b^{2}-b^{2}+4 \cdot a \cdot c}{4 a^{2}}=\frac{4 a c}{4 a^{3}}=\frac{c}{a}
\end{aligned}
Portanto:
$$ P=r_{1} \cdot r_{2}=\frac{c}{a} $$
3ª relação: Diferença das raizes.
$$ D=r_{1} – r_{2} = \left(\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}\right)-\left(\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}\right)=\frac{(-b+\sqrt{\Delta})-(-b-\sqrt{\Delta})}{2 a}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}+b+\sqrt{\Delta}}{2 a}=\frac{2 \sqrt{\Delta}}{2 a}=\frac{\sqrt{\Delta}}{a} $$
Portanto:
$$ D= r_{1} – r_{2} =\frac{\sqrt{\Delta}}{a} $$
Considere a equação polinomial de grau qualquer e coeficientes \(a, b, c, \ldots\)
\(a x^{n}+b x^{n-1}+c x^{n-2}+d x^{n-3}+e x^{n-4}+\ldots=0\)
- As Relações de Girard são sempre dadas por frações, de modo que o denominador é igual a \(a\);
- A primeira relação de Girard é sempre a soma de todas as raízes;
- A segunda relação é igual à soma entre todos os possíveis produtos entre duas raízes;
- Já a terceira, é a soma entre todos os possíveis produtos entre três raízes;
- Tal processo segue o mesmo padrão, de modo que a última relação de Girard é igual ao produto de todas as raízes da equação;
- As Relações de Girard trocam de sinal a cada expressão, onde a primeira sempre tem sinal negativo. Deste modo, a segunda tem sinal positivo, a terceira, negativo, e assim por diante;
- A primeira relação de Girard começa com a segunda letra, isto é, bb; as próximas, seguem a ordem alfabética.
Relações de Girard de uma equação do \(3^{\circ}\) grau
Considere a equação:
$$ a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0 $$
Com as raízes \(r_{1}, r_{2}\) e \(r_{3}\), entāo as Relaçōes de Girard sāo:
\begin{gathered} r_{1}+r_{2}+r_{3}=-\frac{b}{a} \\ r_{1} \cdot r_{2}+r_{1} \cdot r_{3}+r_{2} \cdot r_{3}=\frac{c}{a} \\ r_{1} \cdot r_{2} \cdot r_{3}=-\frac{d}{a} \end{gathered}
Relações de Girard de uma equação do \(4^{\circ}\) grau
Considere a equação:
$$ a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e=0 $$
Com as raízes \(r_{1}, r_{2}, r_{3}\) e \(r_{4}\), entāo as Relaçōes de Girard sāo:
\begin{gathered} r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=-\frac{b}{a} \\ r_{1} \cdot r_{2}+r_{1} \cdot r_{3}+r_{1} \cdot r_{4}+r_{2} \cdot r_{3}+r_{2} \cdot r_{4}+r_{3} \cdot r_{4}=\frac{c}{a} \\ r_{1} \cdot r_{2} \cdot r_{3}+r_{1} \cdot r_{2} \cdot r_{4}+r_{1} \cdot r_{3} \cdot r_{4}+r_{2} \cdot r_{3} \cdot r_{4}=-\frac{d}{a} \\ r_{1} \cdot r_{2} \cdot r_{3} \cdot r_{4}=\frac{e}{a} \end{gathered}
