O que são funções quadráticas?
Chamamos de função quadrática ou função do 2º grau uma aplicação f de \(\mathbb{R}\) em \(\mathbb{R}\) cuja lei de formação é:
\[f(x) = ax^{2} + bx + c, a \neq 0\],
a, b e c são números racionais e a é diferente de zero.
- \(ax^{2}\) é o termo quadrático ou termo do 2° grau de f;
- \(bx\) é o termo linear ou termo do 1° grau de f;
- \(c\) é o termo independente ou termo de grau zero de f.
Exemplos:
- \(f(x) = x^{2} – 3x + 2\) em que a = 1, b = -3, c = 2;
- \(f(x) = 3x^{2} – 2x + 3\) em que a = 3, b = -2, c = 3;
- \(f(x) = -3x^{2} – 5x – 1\) em que a = -3, b = -5, c = -1;
- \(f(x) = x^{2} – 4\) em que a = 1, b = 0, c = -4;
- \(f(x) = 3x^{2}\) em que a = 3, b = 0, c = 0.
O contradomínio B de uma função do 2° grau pode ser qualquer subconjunto de números reais tal que \( Im \subset B\). Im é o conjunto imagem da função f.
Gráfico de uma função quadrática
Informações que são importantes para o esboço do gráfico de uma equação do segundo grau
O gráfico é uma parábola, cujo eixo de simetria é a reta \(x = -\frac{b}{2a}\), perpendicular ao eixo dos x;
Concavidade da parábola
A parábola da função quadrática pode ter concavidade para “cima” ou para “baixo”.
Se \(a > 0\), a parábola tem concavidade voltada para cima.
Se \(a < 0\) a parábola tem concavidade voltada para baixo;
Raízes da função quadrática
Se \(\Delta > 0\) a parábola intercepta o eixo dos x em dois pontos distintos: \(P_{1} \left(\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, 0 \right) \) e \(P_{2} \left(\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}, 0 \right) \);
Se \(\Delta = 0\), a parábola tangencia o eixo dos x no ponto \(P\left(-\frac{b}{2a}, 0\right)\);
Se \(\Delta < 0\), a parábola não tem pontos no eixo dos x;
Vértice da parábola
O vértice da parábola é o ponto \(V \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right) \) que é o máximo se \( a < 0 \) ou mínimo se \(a > 0\). Ou seja:
\(x_{v} = \frac{-b}{2a}\) e \(y_{v} = \frac{-\Delta}{4a}\)
Intersecção com Oy
Ocorre quando x = 0, assim, temos:
\(f(x) = ax_{2} + bx + c\)
\(x = 0 \Rightarrow y = f(0) = c \Rightarrow P = (0, c)\)
Ou seja, o termo independente de x na função do 2° grau (c) é a ordenada do ponto P em que a parábola intercepta o eixo das ordenadas.
A função quadrática é injetora ou sobrejetora?
É sobrejetora mas não é injetora.
Forma canônica
\(f(x)=a x^{2}+b x+c= \\ =a\left(x^{2}+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}\right)= \\ =a\left[x^{2}+\frac{b}{a} x+\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{b^{2}}{4 a^{2}}+\frac{c}{a}\right]= \\ =a\left[\left(x^{2}+\frac{b}{a} x+\frac{b^{2}}{4 a^{2}}\right)-\left(\frac{b^{2}}{4 a^{2}}-\frac{c}{a}\right)\right]= \\ = a\left[\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\left(\frac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}}\right)\right]\)
Portanto,
\[\textbf{}f\left ( x \right ) = a\left [ \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^{2} – \frac{\Delta }{4a^{2}} \right ]\]
Sendo \(\Delta = b^{2} – 4ac\)
Zeros da função quadrática
São chamados de zeros ou raízes da função quadrática \(f(x) = ax^{2} + bx + c\) os valores de x tais que f(x) = 0 e, portanto, as soluções da equação do segundo grau \(f(x) = ax^{2} + bx + c = 0\)
Pela forma canônica, temos:
\(f(x) = ax^{2} + bx + c\Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \textbf{}f\left ( x \right ) = a\left [ \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^{2} – \frac{\Delta }{4a^{2}} \right ] = 0 \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^{2} – \frac{\Delta }{4a^{2}}= 0 \Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^{2} = \frac{\Delta }{4a^{2}} \Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)
Número de raízes de uma equação do segundo grau
O número de raízes de uma equação do segundo grau depende do valor de \(\sqrt{\Delta}\) ser real. Temos 3 casos:
1°) \(\Delta > 0\), a equação apresentará duas raízes distintas:
\(x_{1} = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}\) e \(x_{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)
2°) \(\Delta = 0\), a equação apresentará duas raízes iguais:
\(x_{1} = x_{2} = \frac{-b}{2a}\)
2°) \(\Delta < 0\), a equação não apresenta raízes reais, pois \(\sqrt{\Delta}\notin \mathbb{R}\)
Resumindo:
\(a x^{2}+b x+c=0 \Leftrightarrow\) \begin{array}{l}\Delta>0 \Rightarrow x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a} \text { ou } x=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} \\ \Delta=0 \Rightarrow x=-\frac{b}{2 a} \\ \Delta<0 \Rightarrow \text { não existem raízes reais. }\end{array}
Interpretação geométrica das raízes de uma equação do segundo grau
Interpretando geometricamente, dizemos que os zeros da função quadrática são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo dos x.
Valores máximo e mínimo de uma função do segundo grau
Valor máximo
\(y_{m} \in im(f)\) é o valor máximo da função y = f(x) se, e somente se, \(y_{m} \geq y\) para qualquer \(y \in Im(f)\).
Ponto de máximo
É o número \(X_{m} \in D(f)\) tal que \(Y_{m} = f(x_{m})\).
Valor mínimo
\(y_{n} \in im(f)\) é o valor mínimo da função y = f(x) se, e somente se, \(y_{n} \leq y\) para qualquer \(y \in Im(f)\).
Ponto de mínimo
É o número \(X_{n} \in D(f)\) tal que \(Y_{n} = f(x_{n})\).
Teoremas
I) Se \(a < 0\), a função quadrática \(f(x) = ax^{2} + bx + c\), admite o valor máximo \(y_{m} = -\frac{\Delta}{4a}\) para \(x_{m} = -\frac{b}{2a}\).
II) Se \(a > 0\), a função quadrática \(f(x) = ax^{2} + bx + c\) admite o valor mínimo \(y_{n} = -\frac{\Delta}{4a}\) para \(x_{n} = -\frac{b}{2a}\).
Vértice da parábola
O vértice da parábola é dado pelo ponto
\(V \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)\).
Imagem de uma função quadrática
Se a > 0 \(\Rightarrow y \geq -\frac{\Delta}{4a} \forall x \in \mathbb{R}\). Ou seja, \(Im = \left\{y \in \mathbb{R} | y \geq y_{v}\right\}\)
Se a < 0 \(\Rightarrow y \leq -\frac{\Delta}{4a} \forall x \in \mathbb{R}\). Ou seja, \(Im = \left\{y \in \mathbb{R} | y \leq y_{v}\right\}\)
Eixo de simetria
O eixo de simetria da parábola é uma reta vertical (paralela a0y) passando pelo vértice.
Teorema: “O gráfico da função quadrática admite um eixo de simetria perpendicular ao eixo dos x e que passa pelo vértice.”
\(x = -\frac{b}{2a}\)
Sinal da função quadrática
Vamos analisar o seguinte problema: para quais valores de \(x \in \mathbb{R}\) temos:\(f(x) > 0\), \(f(x) < 0\) e \(f(x) = 0\)?
Primeiro analisamos o discriminante \(\Delta\), onde pode ocorrer três casos:
a) \(\Delta < 0\)
Se \(\Delta < 0\) então \(-\Delta > 0\).
\(a \cdot \textbf{}f\left ( x \right ) = a^{2}\left [ \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^{2} + \left(\frac{-\Delta }{4a^{2}}\right) \right ]\)
\(\Rightarrow a \cdot f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R}\)
Isso quer dizer que a função quadrática, quando \(\Delta < 0\), tem o sinal de a para todo \(x \in \mathbb{R}\).
\(a > 0 \Leftarrow f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R}\)
\(a < 0 \Leftarrow f(x) < 0, \forall x \in \mathbb{R}\)
b) \(\Delta = 0\)
\(a \cdot \textbf{}f\left ( x \right ) = a^{2}\left [ \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^{2} + \left(\frac{-\Delta }{4a^{2}}\right) \right ] = a^{2}\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2}\)
\(\Rightarrow a \cdot f(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}\)
Isso quer dizer que quando \(\Delta = 0\) a função quadrática tem o sinal de a para todo \(x \in \mathbb{R} – \left\{x_{1}\right\}\), sendo \(x_{1} = -\frac{b}{2a}\) zero duplo de f(x).
\(a > 0 \Leftarrow f(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}\)
\(a < 0 \Leftarrow f(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}\)
c) \(\Delta > 0\)
1º) O sinal de f(x) é o sinal de a para todo x, tal que \(x < x_{1}\) ou \(x > x_{2}\);
2º) O sinal de f(x) é o sinal de -a para todo x, tal que \(x < x_{1} < x < x_{2}\).
Informações para fazer o esboço do gráfico de uma função quadrática
1) 0 gráfico é uma parábola, cujo eixo de simetria é a reta \(x=-\frac{b}{2 a}\) perpendicular ao eixo dos \(x\).
2) Se a \(>0\), a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Se \(a<0\), a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
3) Zeros da função:
Se \(\Delta>0\), a parábola intercepta o eixo dos \(x\) em dois pontos distintos:
$$\mathrm{P}_{1}\left(\frac{-\mathrm{b}-\sqrt{\Delta}}{2 \mathrm{a}}, 0\right) \quad \text { e } \quad \mathrm{P}_{2}\left(\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{\Delta}}{2 \mathrm{a}}, 0\right)$$
Se \(\Delta=0\), a parábola tangencia o eixo dos \(x\) no ponto \(\mathrm{P}\left(-\frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}}, 0\right)\).
Se \(\Delta<0\), a parábola não tem pontos no eixo dos \(x\).
4) Vértice da parábola é o ponto \(V\left(-\frac{b}{2 a},-\frac{\Delta}{4 a}\right)\), que é máximo se \(a<0\) ou
Referências:
Iezzi, Gelson. Fundamentos da matemática elementar, 1: conjuntos, funções / Gelson Iezzi, Carlos Murakami. – 9. ed. — São Paulo: Atual, 2013
Aranha, Álvaro Zimmermann. Funções e logaritmos/Álvaro, Zimmermann Aranha, Manoel Benedito Rodrigues. -2.ed. rev. melhor. – São Paulo: Policarpo. 1994 – (Exercícios de matemática; v.2).
Was this helpful?
3 / 1