Função injetora
Dizemos que uma função \(f: A \to B\) é injetora se, e somente se, para quaisquer elementos: \[x_{1}, x_{2} \in A, x_{1} \neq x_{2} \Leftrightarrow f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right)\]
Uma função f é injetora quando todas as imagens são exclusivas, ou seja, cada imagem \(y \in B\) é correspondente de um único antecedente \(x in A\).
Ou seja, antecedentes distintos implicam em imagens distintas.
Lembre-se! Antecedentes são os elementos do domínio.
\(f\left(x_{1}\right) \) é a imagem do antecedente \(x_{1} \in A\) e \(f\left(x_{2}\right) \) é a imagem do antecedente \(x_{2} \in A\)
Exemplos:
Observe a função \(f: A \to B\) no diagrama abaixo, f é injetora pois cada uma de suas imagens (1, 3, 4, 5) é exclusiva de seu respectivo antecedente (2, 4, 6, 7).
Agora observe a função f sobre A que não é injetora pois a imagem \(y = 3 \in B\) é de dois antecedentes, \(x = 1 e x = 3\), e portanto a imagem não é exclusiva de um único elemento do domínio. Podemos dizer que: \[x_{1} \neq x_{2} \Leftrightarrow f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right)\] \[1 \neq 3 \Leftrightarrow 3 \neq 3\]
Função sobrejetora
Dada uma função \(f: A \to B\) dizemos que é sobrejetora se, e somente se, para qualquer elemento \(y \in B, \exists x \in A \; |\; f\left(x\right) = y\).
Observe que sendo assim todo elemento \(y \in B\) é imagem de algum elemento \(x \in A\) e, portanto, o contradomínio da função f é igual ao conjunto imagem de f.
Exemplos:
Observe a função \(f: A \to B\) é sobrejetora pois, \(Im_{f} = CD_{f} = \left\{\frac{1}{2}, 3, 4\right\} = CD_{f}\).
Observe que todo elemento \(y \in B\) é correspondente de algum \(x \in A\).
Já a função \(f:A \to B\) representada abaixo não é sobrejetora pois \(CD_{f} = \left\{0, 1, 3, 5\right\}\) enquanto que a imagem é \(Im_{f} = \left\{0, 1, 5\right\}\) logo \(CD_{f} \neq Im_{f}\).
Podemos dizer que existe pelo menos um elemento \(y \in B\) que não é correspondente de nenhum \(x \in A\) que nesse caso é o elemento \(3 \in B\).
Função bijetora
\(f: A \to B\) é bijetora quando é injetora e sobrejetora.
Exemplos:
Observe a função representada abaixo, ela é bijetora pois é injetora e ao mesmo tempo sobrejetora.
Já essa outra função representada abaixo não é bijetora, pois não é sobrejetora \(\left(CD \neq Im\right)\)
Podemos resumir em:
- Função Injetora se, e somente se, possuem imagens exclusivas;
- Função Sobrejetora se, e somente se, a imagem for igual ao contradomínio;
- Função Bijetora se, e somente se, for injetora e sobrejetora.
Referências:
Aranha, Álvaro Zimmermann. Funções e logaritmos/Álvaro, Zimmermann Aranha, Manoel Benedito Rodrigues. -2.ed. rev. melhor. – São Paulo: Policarpo. 1994 – (Exercícios de matemática; v.2).
