Decomposição de um vetor no plano

Não sabe como trabalhar com vetores em duas ou três dimensões? Este post é tudo que você precisa.

Neste post você irá aprender

  • O que são vetores em \(\mathbb{R}^{2}\) e \(\mathbb{R}^{3}\);
  • Como bases de vetores;
  • O que é uma base ortonormal.

É importante que saiba responder essas questões de acordo com o que está no texto abaixo.

Vetores em duas e três dimensões

Se um vetor qualquer tem duas coordenadas dizemos que possui duas dimensões, e sendo assim pertence ao \(\mathbb{R}^{2}\).

\(\left(a, b\right)\), com \(a,\; b \in \mathbb{R}\)

Vetores no \(\mathbb{R}^{2}\) são chamados de vetores no plano.

Se um vetor qualquer tem três coordenadas dizemos que possui três dimensões, e sendo assim pertence ao \(\mathbb{R}^{3}\).

\(\left(a, b, c\right)\), com \(a,\; b, \; c \in \mathbb{R}\)

Vetores no \(\mathbb{R}^{3}\) são chamados de vetores no espaço.

Dados dois vetores \(\overrightarrow{v_{1}}\) e \(\overrightarrow{v_{2}}\) qualquer vetor \(\overrightarrow{v}\) pode ser decomposto segundo as direções de \(\overrightarrow{v_{1}}\) e \(\overrightarrow{v_{2}}\).

Devemos determinar dois números reais \(a_{1}\) e \(a_{2}\) tais que:

\(\overrightarrow{v} = a_{1}\overrightarrow{v_{1}} + a_{2}\overrightarrow{v_{2}}\).

Neste caso dizemos que \(\overrightarrow{v}\) é combinação linear de \(\overrightarrow{v_{1}}\) e \(\overrightarrow{v_{2}}\) e esse par de vetores é chamado de base do plano.

Base de um plano

Já vimos que qualquer vetor \(\overrightarrow{v}\) pode ser decomposto segundo as direções de \(\overrightarrow{v_{1}}\) e \(\overrightarrow{v_{2}}\). Isso significa que podemos usar \(\overrightarrow{v_{1}}\) e \(\overrightarrow{v_{2}}\) como base de um plano para gerar todos os outros vetores e os números reais \(a_{1}\) e \(a_{2}\) são chamados de coordenadas de \(\overrightarrow{v}\) em relação a base \(\left\{\overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}}\right\}\).

Na nossa relação \(\overrightarrow{v} = a_{1}\overrightarrow{v_{1}} + a_{2}\overrightarrow{v_{2}}\) o vetor \(a_{1}\overrightarrow{v_{1}}\) é chamado projeção de \(\overrightarrow{v}\) sobre \(\overrightarrow{v_{1}}\) segundo a direção de \(\overrightarrow{v_{2}}\) assim como \(a_{2}\overrightarrow{v_{2}}\) é chamado projeção de \(\overrightarrow{v}\) sobre \(\overrightarrow{v_{2}}\) segundo a direção de \(\overrightarrow{v_{1}}\).

Base ortornormal

Uma base \(\left\{\overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}}\right\}\) é dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários, ou seja,

\(\overrightarrow{v_{1}} \perp \overrightarrow{v_{2}}\) e \(|\overrightarrow{v_{1}}| = |\overrightarrow{v_{2}}| = 1\).

Então se temos um vetor \(\overrightarrow{v} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}\) temos que:

  • x e y são as componentes de \(\overrightarrow{v}\) em relação a base \(\left\{\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\right\}\);
  • o vetor \(x\overrightarrow{i}\) é a projeção ortogonal de \(\overrightarrow{v}\) sobre \(\overrightarrow{i}\) ou projeção ortogonal sobre o eixo dos x.
  • o vetor \(y\overrightarrow{j}\) é a projeção ortogonal de \(\overrightarrow{v}\) sobre \(\overrightarrow{j}\) ou projeção ortogonal sobre o eixo dos y.

Como a base sempre é ortogonal, podemos dizer somente projeção.

A escolha da base \(\left\{\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\right\}\), deve se a simplificação. Por que quando nos referirmos a um vetor P(x, y), ele pode ser identificado com o vetor \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}\), sendo O a origem do sistema.

Assim o plano pode ser visto como um conjunto de pontos ou como um conjunto de vetores.

Veja: Expressão analítica de um vetor.

Referências:

STEINBRUCH, Alfredo. Geometria Analítica . 1ª ed. Pearson Universidades, 1995.

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