Subconjuntos

O que são subconjuntos? Quais as suas propriedades? Como definir a igualdade de conjuntos usando subconjuntos? Tire suas dúvidas.

O que são subconjuntos?

Considere dois conjuntos A e B, dizemos que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B. Para facilitar a representação fazemos uso do sinal de inclusão \( \left( \subset \right) \)

\( A \subset B \)

Podemos ler a notação \( A \subset B \) e indicamos que “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”.

Podemos usar símbolos para facilitar a escrita da definição:

\( A \subset B \Leftrightarrow \left( \forall x \right) \left(x \in A \Rightarrow x \in B \right) \)

Por exemplo:

I) \( \left\{a, b, c \right\} \subset \left\{a, b, c, d, e, f \right\} \)

II) \( \left\{a, b, c \right\} \subset \left\{c, b, a \right\} \)

III) \( \left\{x \; | \; x \in \mathbb{Z}, x \; é \; impar \right\} \subset \left\{x \; | \; x \; é \; inteiro \right\} \)

Também é comum indicarmos \( A \subset B \) com a notação \( B \supset A \), que se lê “B contém A”.

Mas qual a notação para quando não é subconjunto? Nós usamos a notação \( \not\subset\) onde se lê “A não está contido em B”. Isso ocorre quando existe ao menos um elemento de A que não pertence a B.

Por exemplo:

I) \( \left\{a, b, c \right\} \not\subset \left\{b, c, d, e, f \right\} \)

II) \( \left\{a, b \right\} \not\subset \left\{c, d, g \right\} \)

III) \( \left\{x \; | \; x \in \mathbb{Z}, x \; é \; não \; positivo \right\} \not\subset \left\{x \; | \; x \; é \; inteiro \; positivo\right\} \)

Como definir a igualdade de conjuntos usando subconjuntos?

Pela definição de igualdade entre conjuntos temos que:

\( A = B \Leftrightarrow \left( \forall x \right)\left(x \in A \Leftrightarrow x \in B \right) \)

Pode observar que pela definição acima, todo elemento de A é elemento de B e todo elemento de B é elemento de A, logo, \( A \subset B \) e \( B \subset A \), assim podemos escrever:

\( A = B \Leftrightarrow \left( A \subset B \; e \; B \subset A \right) \)

Dessa forma se quiser provar que A = B, basta verificar se \( \left( A \subset B \; e \; B \subset A \right) \).

Quais são as propriedades da inclusão?

Considere os conjuntos A, B e C quaisquer, é válida as seguintes propriedades:

I) \( \varnothing \subset A \)

Demonstração:

Temos que para todo \(x\), a implicação

\( x \in \varnothing \Rightarrow x \in A\)

é verdadeira, pois \( x \in \varnothing \) é falsa. Então, por definição de subconjunto, \( \varnothing \subset A \).

II) \( A \subset A \) (propriedade reflexiva)

III) \( \left( A \subset B \; e \; B \subset A \right) \Rightarrow A = B \) (propriedade antissimétrica)

IV) \( \left( A \subset B \; e \; B \subset C \right) \Rightarrow A \subset C \) (propriedade transitiva)

Referências:

Iezzi, Gelson. Fundamentos da matemática elementar, 1: conjuntos, funções / Gelson Iezzi, Carlos Murakami. – 9. ed. — São Paulo: Atual, 2013.

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