Relação de equivalência
Uma relação R sobre um conjunto E não vazio é chamada de relação de equivalência sobre E se, e somente se, a relação R é reflexiva, simétrica e transitiva.
Assim, R deve satisfazer as seguintes propriedades:
i) se \(x \in E\), então xRx;
ii) se x, y \(\in\) E e xRy então yRx;
iii) se x, y, z \(\in\) E e xRy e yRz, então xRz.
Classe de equivalência
Seja R uma relação de equivalência sobre E. Dado a, com \(a \in E\), chama-se classe de equivalência determinada por a, módulo R, o subconjunto de \(\bar{a}\) de E constituído pelos elementos x tais que xRa.
\(\bar{a} = \left\{x \in E\; |\; xRa \right\}\)
Conjunto-quociente
O conjunto das classes de equivalência módulo R é indicado por E/R e chamado conjunto-quociente de E por R.
Proposição
Seja R uma relação de equivalência sobre E e sejam \(a \in E\) e \(b \in E\). As seguintes proposições são equivalentes:
i) aRb
ii) \(a \in \bar{b}\)
iii) \(b \in \bar{a}\)
iv) \(\bar{a} = \bar{b}\)
Partição de um conjunto
Seja E um conjunto não vazio. Diz se que uma classe P de subconjuntos não vazios de E é uma partição de E se, e somente se:
a) dois membros quaisquer de P ou são iguais ou são disjuntos;
b) a união dos membros de P é igual a E.
Proposição
Se R é uma relação de equivalência sobre um conjunto E, então E/R é uma relação de E.
Proposição
Se P é uma partição do conjunto E, então existe uma relação R de equivalência sobre E tal que E/R = P.
Referências
Domingues. Hygino H., 1934 – Álgebra moderna: volume único / Higino H. Domingues. Gelson Iezzi. – 4. ed. reform. – São Paulo: Atual, 2003.
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