Operações com vetores na forma analítica
Para verificar como são feitas as operações com vetores na forma analítica iremos considerar os vetores:
- \(\overrightarrow{u} = \left(x_{1}, y_{1}\right)\)
- \(\overrightarrow{v} = \left(x_{2}, y_{2}\right)\)
- \(\overrightarrow{w} = \left(x_{3}, y_{3}\right)\)
- \(a,\; b \in \mathbb{R}\)
Quando dois vetores são iguais?
Dois vetores \(\overrightarrow{u} = \left(x_{1}, \;y_{1}\right)\) e \(\overrightarrow{v} = \left(x_{2}, \; y_{2}\right)\) são iguais se, e somente se, \(x_{1} = x_{2}\) e \(y_{1} = y_{2}\). Escrevemos que \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}\).
Por exemplo:
- \(\overrightarrow{u} = \left(4, 6\right)\) e \(\overrightarrow{v} = \left(4, 6\right)\) são vetores iguais.
- \(\overrightarrow{u} = \left(x + 2, 5\right)\) e \(\overrightarrow{v} = \left(5, 2y-7\right)\) são vetores iguais. Pela definição de igualdade temos que \(x + 2 = 5\) e \(5 = 2y – 7\) ou \(x = 3\) e \(y = 6\).
Soma de dois vetores na forma analítica
\(\overrightarrow{u} = \left(x_{1}, y_{1}\right) + \overrightarrow{v} = \left(x_{2}, y_{2}\right) = \left(x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}\right)\)
Propriedades:
- \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}\)
- \(\left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\right) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + \left(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}\right)\)
- \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{u}\)
- \(\overrightarrow{u} + \left(\overrightarrow{u}\right) = \overrightarrow{0}\)
Multiplicação de um vetor por um número real
\(a\cdot \overrightarrow{u} = \left(ax_{1}, ay_{1}\right)\)
Propriedades:
- \(a \cdot \left(b \cdot \overrightarrow{u}\right) = \left(a \cdot b \right) \cdot \overrightarrow{v}\)
- \(\left(a + b\right) \cdot \overrightarrow{u} = a \cdot \overrightarrow{u} + b \cdot \ \overrightarrow{v}\)
- \(a \cdot \left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\right) = a \cdot \overrightarrow{u} + a \cdot \overrightarrow{v}\)
- \(1 \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u}\)
Referências:
STEINBRUCH, Alfredo. Geometria Analítica . 1ª ed. Pearson Universidades, 1995.
