Potência de expoente natural
Dado a um número real e n um número natural. Chamamos de potência de base a e expoente n o número \(a^{n}\) tal que:
- \(a^{0} = 1, \; para \; a \neq 0\);
- \(a^{n} = a^{n-1} \cdot a, \forall n, n \geq 1\).
Assim, temos que:
\( a^{0} = 1 \)
\( a^{1} = a^{1} \cdot a \)
\( a^{2} = a^{1} \cdot a = a \cdot a \)
\( a^{3} = a^{2} \cdot a = \left( a \cdot a \right) \cdot a \)
\( \cdots \)
\( a^{n} = a^{n-1} \cdot a, \forall n, \; n \geq 1 \)
De modo geral podemos dizer que \( a^{n} \) com \(n \in \mathbb{N} \), é um produto de \( n \) fatores iguais a \( a \).
Exemplos:
- \(3^{0} = 1\)
- \((-3)^{0} = 1\)
- \(7^{1} = 7\)
- \(\left(\frac{7}{9}\right)^{0} = \frac{7}{9}\)
- \(-5^{2} = – (5 \cdot 5)\)
- \((-2)^{3} = -2 \cdot -2 \cdot -2 = -8\)
- \((2)^{3} = 1\)
- \((0)^{4} = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \)
Quais as propriedade das potências?
Sendo, \(a, b \in \mathbb{R}\), \(m, n \in \mathbb{N}\), com \(a \neq 0\) ou \(n \neq 0\) é válida as seguintes propriedades:
P1 – \(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}\)
P2 – \(\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m – n}, a \neq 0 \; e \; m \; \geq n\)
P3 – \(\left(a \cdot b\right)^{n} = a^{n} \cdot b^{n},\; com \; b \neq 0 \; ou \; n \neq 0\)
P4 – \(\left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}, b \neq 0\)
P5 – \(\left(a^{m}\right)^{n} = a^{m \cdot n}\)
Potência com expoente inteiro negativo
Dado um número real e um expoente negativo, define-se a potência \(a^{-n} pela relação
\(a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}\),
ou seja, a potência de base real, não nula, e expoente inteiro negativo é o inverso da correspondente potência de inteiro positivo.
Com a definição de potência com expoente negativo, podemos estabelecer a seguinte definição:
\(a^{n} = \begin{cases} 1 & \text{ se } n = o \; e \; a \neq 0\\ a^{n-1} \cdot a & \text{ se } n > 0 \\ \frac{1}{a^{n}} & \text{ se } n < 0, \; a \neq 0 \\ \end{cases}\)
Com \(a \in \mathbb{R}\) e \(n \in \mathbb{Z}\).
Para as potencias de expoente inteiro é válido as propriedades:
P1 – \(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}\)
P2 – \(\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m – n}, a \neq 0 \; e \; m \; \geq n\)
P3 – \(\left(a \cdot b\right)^{n} = a^{n} \cdot b^{n},\; com \; b \neq 0 \; ou \; n \neq 0\)
P4 – \(\left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}, b \neq 0\)
P5 – \(\left(a^{m}\right)^{n} = a^{m \cdot n}\)
Com \(a, b \in \mathbb{R^{*}}\), \(m, n \in \mathbb{Z}\).
Referências:
Iezzi, Gelson. Fundamentos da matemática elementar, 2: logaritmos / Gelson Iezzi, Carlos Murakami. – 9. ed. — São Paulo: Atual, 2013.
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