O que são os números reais?
Podemos definir como número real todo aquele que pode ser escrito na forma decimal. E são sempre representados por símbolos:
\( 45, 0, \sqrt{8}, 4,3333, 0,\overline{35}, \frac{2}{3}, \pi\).
O conjunto dos números reais é indicado por \(\mathbb{R}\). \(\mathbb{R}\) contém \(\mathbb{Q}\), ou seja, todo número racional é também um número real. Os números que não são racionais são chamados de irracionais \(\left(\mathbb{I}\right) \). Então podemos dizer que:
\( \mathbb{R} = \mathbb{Q} + \mathbb{I} \)
Subconjuntos importantes dos números reais
Conjunto dos números naturais:
\( \mathbb{N} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}\).
Conjunto dos números inteiros
\( \mathbb{Z} = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}\).
Conjunto dos números racionais
\( \left\{\frac{a}{b}|a, \; b \in \mathbb{Z}, \; b \neq 0 \right\} \)
A barra vertical “|” é lida como “tal que”.
Dizima periódica
Um número racional pode ter uma quantidade finita de casas após a vírgula, por exemplo:
- 0,5
- 0,3535353535
Ou pode ter uma quantidade infinita de casas após a vírgula.
- 0,222222…
- 0,14141414… ou \(0,\overline{14}\)
A barra sobre o 14 indica que ele se repete infinitamente. E esse número que se repete é chamado de dízima periódica.
Número irracional
Um número é chamado de irracional quando tem infinitas casas decimais após a vírgula e não possui uma sequência de algarismos que se repete.
- \(\sqrt{3} = 1,7320508…\)
- \(\pi = 3,14159265… \)
Representação na reta
Para representar o conjunto dos números reais na reta, marcamos o número real 0 (nulo), que representa a origem, em uma reta horizontal. Escolhemos uma unidade de distância e marcamos o ponto 1 e com a mesma unidade marcamos todos os elementos que pertencem aos inteiros. Os positivos ficam à direita da origem e os negativos ficam à esquerda da origem.
Operações definidas no conjunto dos números reais
Estão definidas as operações de adição \( \left(+\right)\) e multiplicação \( \left( \cdot \right)\) e uma relação \( \left( \leq \right)\).
A adição associa a cada par de números reais \( \left( x, y\right) \) um único número real que é denominado soma e indicado por \( \left( x + y\right) \) enquanto que a multiplicação associa a cada par de número real um número \( \left( x \cdot y \right) \) denominado produto. Admitiremos que a quádrupla \( \left( \mathbb{R}, +, \cdot, \leq \right) \) é um corpo ordenado, isto é, satisfaz todas as 15 propriedades listadas no post sobre números racionais. Agora veremos como obter mais propriedades a partir das 15 já mencionadas.
Quaisquer que sejam os reais x, y, z, w temos que:
I) somando-se membro a membro desigualdades de mesmo sentido, obtém-se outra de mesmo sentido.
\( x \leq y \; e \; z \leq w \Rightarrow x + z = y + w\)
Demonstração:
Aplicando a propriedade OA:
\( x \leq y \Rightarrow x + z \leq y + z \)
\( z \leq w \Rightarrow x + z \leq y + w\)
Aplicando a propriedade transitiva (O3):
\( x + z \leq y + z \; e \; y + z \leq y + w \Rightarrow x + z \leq y + w\)
Portanto,
\( x \leq y \; e \; z \leq w \Rightarrow x + z \leq y + w \)
II) Lei do cancelamento. Para quaisquer que sejam os números reais x, y, z temos que:
\( x + z = y + z \Rightarrow x = y \)
Demonstração:
Somando-se -z a ambos os lados da igualdade obtemos:
\( \left(x + z \right) + \left( -z \right) = \left(x + z \right) + \left( -z \right) \)
pela propriedade A1 temos:
\( x + \left[ z + \left(-z\right) \right] = y + \left[z + \left(-z\right) \right] \)
e obtemos
\( x + 0 = y + 0 \)
ou seja,
\( x = y \).
Portanto,
\( x + z = y + z \Rightarrow x = y \)
III) Quaisquer que sejam os números reais x, y, z, w, multiplicando-se membro a membro desigualdades de mesmo sentido e de números positivos, obtém-se desigualdade de mesmo sentido.
\( 0 \leq x \leq y \; e \; 0 \leq z \leq w \Rightarrow xz \leq yw \)
Demonstração:
Pela propriedade OM temos que:
\( 0 \leq x \leq y \; e \; 0 \leq z \leq w \Rightarrow xz \leq yz \; e \; yz \leq yw \)
e usando a propriedade O3 segue que:
\( xz \leq yz \; e \; yz \leq yw \Rightarrow xz \leq yw\)
IV) Lista de propriedades úteis (que podem ser comprovadas utilizando às 15 já apresentadas no post sobre números racionais):
Para quaisquer que sejam x, y, z, w, pertencente aos reais temos que:
i) \( x < y \Leftrightarrow x + z < y + z \)
ii) \( z > 0 \Leftrightarrow z^{-1} > 0 \)
iii) \( z > 0 \Leftrightarrow -z < 0 \)
iv) se \(z > 0, x < y \Leftrightarrow xz < yz \)
v) se \(z < 0, x < y \Leftrightarrow xz > yz \)
Multiplicando-se ambos os membros de uma desigualdade por um mesmo número negativo, o sentido da desigualdade muda.
vi) \( 0 \leq x < y \; e \; 0 \leq z < w \Rightarrow xz < yw \)
vii) \(0 < x < y \Leftrightarrow 0 < \frac{1}{x} < \frac{1}{y} \)
viii) \( x < y ou x = y ou x > y \) (Lei da tricotomia)
Somente uma das condições acima se verifica.
ix) \( xy = 0 \Leftrightarrow x = 0 \; ou \; y = 0 \) (Anulamento do produto).
Um produto é nulo se e somente se um dos fatores for nulo.
Referências:
Guidorizzi, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo, vol. 1 / Hamilton Luiz Guidorizzi, – 5.ed. – Rio de Janeiro: LTC, 2013. 380p.
Pré-cálculo / Franklin D. Demana…[et al.]; consultoria técnica Thaícia Stona. – 2. ed. – São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013.
Imagens: geogebra.com
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