O que são os Números Racionais?
Os números racionais são os números da forma \( \frac{a}{b} \) tais que a e b pertence aos inteiros e b é diferente de zero o conjunto desses números é indicado por \( \mathbb{Q} \).
\( \mathbb{Q} = \frac{a}{b}\; | \; a, b \in \mathbb{Z}\; e \; b \neq 0 \)
Observe que \( \mathbb{N} \) é subconjunto de \( \mathbb{Z} \) que é subconjunto de \( \mathbb{Q} \) ou seja todo número natural é um número inteiro e todo número inteiro é um número racional.
Como é definido a soma e produto nos números racionais?
Consideramos dois números racionais quaisquer \( \frac{a}{b} \; e \; \frac{c}{d} \) a soma e o produto desses dois números são definidos da seguinte forma:
\( \frac{a}{b}\ + \frac{c}{d}\ = \frac{ad + bc}{bd}\ \; e \; \frac{a}{b}\ \cdot \frac{c}{d}\ = \frac{ac}{bd}\ \)
Adição é o nome da operação que a cada par de números racionais associa a sua soma e multiplicação é o nome da operação que a cada par de números racionais associa o produto.
Número racional positivo e número racional estritamente positivo
Considerando um número racional qualquer \( \frac{a}{b}\ \) dizemos que que é positivo se \( a \cdot b \in \mathbb{N} \); se \( a \cdot b \in \mathbb{N} \) e \(a \neq 0 \) dizemos que esse número é estritamente positivo.
Número racional estritamente menor
Considere dois números racionais r e s, dizemos que r é estritamente menor que s ou s é estritamente maior que r e escrevermos:
\( r < s \) ou \( s > r \)
Respectivamente, se existe um racional t estritamente positivo tal que:
\( s = r + t \)
A notação \(r \leq s \) é usada para afirmar que \(r < s \; ou \; r = s\) e \( r \geq s \) é usada para afirmar \(r > s \; ou \; r = s\) e é equivalente a \(s \leq r \). Observe que um número racional r qualquer é positivo quando \(r \geq 0 \). Se \(r \leq 0 \) dizemos que r é negativo.
Observe que a quadrupla \( \left ( \mathbb{Q}, +, \cdot, \leq \right )\) satisfaz as seguintes propriedades. Com x, y, z pertencentes aos racionais.
Propriedade A1: associativa da adição
\( \left ( x + y \right ) + z = x + \left ( y + z \right ) \)
Propriedade M1: associativa da multiplicação
\( \left ( x \cdot y \right ) \cdot z = x \cdot \left ( y \cdot z \right ) \)
Propriedade A2: comutativa da adição
\( x + y = y + x \)
Propriedade M2: comutativa da multiplicação
\( xy = yx \)
Propriedade A3: Existência do elementos neutro na adição
\( x + 0 = x \)
Propriedade M3: Existência do elementos neutro na multiplicação
\( x \cdot 1 = x \), com \(x \neq 0 \)
Propriedade A4: Existência do elemento oposto na adição
\( \forall \; x \; \exists \; y \; | \; x + y = 0 \)
Esse \( y \) é denominado oposto de \(x\) e indica-se por \( -x \). Assim, \( x + (-x) = 0 \)
Propriedade M4: Existência de inverso multiplicativo
\( \forall x \neq 0, x \in \mathbb{Q} \) existe um único \(y\) tal que \(x \cdot y = 1\)
Esse \( y \) é denominado inverso de \(x\) e indica-se por \( x^{-1}\) ou \( \frac{1}{x}\ \). Assim, \( x \cdot x^{-1} = 1 \)
Propriedade D: Distributiva em relação a adição
\( x(y + z) = xy + xz \)
Propriedade O1: Reflexiva
\( x \leq x \)
Propriedade O2: Antissimétrica
\( x \leq y \) e \( y \leq x \Rightarrow x = y \)
Propriedade O3: Transitiva
\(x \leq y \) e \( y \leq z \Rightarrow x \leq z \)
Propriedade O4: Quais quer que sejam os racionais x e y
\( \left( x \leq y \; ou \; y \leq x\right) \)
Propriedade OA: Compatibilidade da ordem com a adição
\( x \leq y \Rightarrow x + z \leq y + z \)
Somando-se a ambos os membros de uma desigualdade o mesmo número, o sentido da desigualdade é mantido.
Propriedade OM: Compatibilidade da ordem com a multiplicação
\( x \leq y \) e \(0 \leq z \Rightarrow xz \leq yz \)
Multiplicando-se ambos os membros de uma desigualdade por um mesmo número positivo, o sentido da desigualdade se mantém.
Como representar os números racionais com pontos em uma reta?
É chamada de representação geométrica dos números racionais, onde os seus elementos são representados por pontos em uma reta. Para fazermos isso precisamos escolher dois pontos na reta, um representando 0 e o outro representando 1. Tomamos o segmento de extremidade 0 e 1 como unidade de medida e marcamos os demais representantes dos números racionais.
Se o ponto P for um representante do número racional r, diremos que r é a abscissa de P.
Observação: todo número racional r é abscissa de um ponto na reta; entretanto, nem todo ponto da reta tem abscissa racional.
Como construir um ponto na reta que não tem abscissa racional?
P é a intersecção do eixo x com a circunferência de centro 0 e raio d. Pelo teorema de Pitágoras temos que \(d^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2 \Rightarrow d = \sqrt2 \). Logo a abscissa de P não é um número racional.
Admitiremos que todo ponto na reta tem uma abscissa x; se x não for racional então x é irracional. O conjunto formado pela união entre os racionais e os irracionais é o conjunto dos números reais, indicado por \( \mathbb{R}\)
Referências:
Guidorizzi, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo, vol. 1 / Hamilton Luiz Guidorizzi, – 5.ed. – Rio de Janeiro: LTC, 2013. 380p.
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