O que são os números racionais
Muitos dos números que usamos no nosso dia a dia não existe no conjunto dos números racionais. Esse é o caso do número 1/2. Generalizando, dado um número inteiro q \(\neq\) 1, -1, o inverso de q não existe no conjunto dos números inteiros.
\( \frac{1}{q} \notin \mathbb{Z} \)
Por isso não temos em \(\mathbb{Z} \) a operação de divisão. E para introduzir essa operação temos o conjunto dos números racionais. Chamamos de \(\mathbb{Q}\).
\(\mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} \; | \; a, b \in \mathbb{Z} \; e \; b \neq 0\right\}\)
O que é numerador e denominador?
Na fração \(\frac{a}{b}\) é chamado de denominador e o b é chamado de denominador.
Lembre-se! O denominador é sempre diferente de zero.
Note que os números inteiros são um subconjunto dos números racionais. Assim como os números naturais são um subconjunto dos números inteiros.
Definições importantes no conjunto dos racionais
Igualdade
\( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad = bc \)
Adição
\( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{ad + bc}{bd} \)
Multiplicação
\( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{ac}{bd} \)
Quais os subconjuntos importantes
- \( \mathbb{Q_{+}}\) conjunto dos racionais não negativos;
- \( \mathbb{Q_{-}}\) conjunto dos racionais não positivos;
- \( \mathbb{Q^{*}}\) conjunto dos racionais não nulos.
O que é uma fração irredutível?
Dizemos que uma fração \(\frac{a}{b} \) é irredutível quando a e b são primos entre si, isto é, se mdc(a, b) = 1, dizemos que \(\frac{a}{b}\) é uma fração irredutível.
São exemplos de frações irredutíveis \(\frac{1}{3}\), \(\frac{4}{7}\), \(\frac{7}{11}\).
São exemplos de frações redutíveis \(\frac{2}{4}\), \(\frac{27}{9}\), \(\frac{5}{15}\).
E quando o denominador é igual a 1?
Vamos considerar o conjunto \( \mathbb{Q^{‘}}\) formado pelos números racionais com denominador unitário: \( \mathbb{Q^{‘}} = \left\{\frac{x}{1} \; | \; x \in \mathbb{Z}\right\}\). Temos então que:
Igualdade
\( \frac{a}{1} = \frac{c}{1} \Leftrightarrow a = b \)
Adição
\( \frac{a}{1} + \frac{c}{1} = \frac{a + b}{1} \Leftrightarrow a + b = a + b \)
Multiplicação
\( \frac{a}{1} \cdot \frac{b}{1} =\frac{ab}{1} \Leftrightarrow a \cdot b = a \cdot b\)
Perceba que os racionais quando possuem o denominador igual a 1 comportam-se como se fossem números inteiros. Assim, fazendo o racional \( \frac{x}{1}\) coincidir com o inteiro x, decorre que:
\( \mathbb{Q^{‘}} = \mathbb{Z}, \; logo, \; \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\)
Propriedades nos racionais
i)\( \left ( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \right ) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b}+\left ( \frac{c}{d} + \frac{e}{f} \right )\)
ii)\( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \)
iii)\( \frac{a}{b} + 0 = \frac{a}{b} \)
iv)\( \left ( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \right ) \cdot \frac{e}{f} = \frac{a}{b}\cdot \left ( \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f} \right )\)
v)\( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} \)
vi)\( \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b}\)
vii)\( \frac{a}{b} \cdot \left ( \frac{c}{d} + \frac{e}{f} \right )\)
viii) \( \forall \; \frac{a}{b} \in \mathbb{Q}\; e \; \frac{a}{b} \neq 0, \exists \; \frac{b}{a} \in \mathbb{Q} \; | \; \frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a} = 1\)
Representação decimal dos números racionais
Todo número racional \( \frac{a}{b}\) pode ser representado por um número decimal. Fazemos isso dividindo o número inteiro a pelo inteiro b, quando fazemos isso podemos obter uma decimal exata ou uma dizima periódica.
Decimal exata: não possui repetição após a vírgula.
Dizima periódica: possui uma quantidade infinita de algarismos que se repetem após a vírgula.
São exemplos de decimal exata: \( \frac{3}{1}\), \( \frac{1}{2} = 0,5\), \( \frac{1}{20} = 0,05\), \( \frac{35}{1000} = 0,027\).
São exemplos de dizima periódica: \( \frac{1}{3} = 0,3333…\), \( \frac{2}{7} = 0,285714285714\), \( \frac{11}{6} = 1,8333…\).
Observe que:
- em \( \frac{1}{3} = 0,3333…\) o 3 se repete infinitamente, então dizemos que o período é 3;
- em \( \frac{2}{7} = 0,285714285714\) o 285714 se repete infinitamente, então dizemos que o período é 285714;
- em \( \frac{11}{6} = 1,8333…\) o 3 se repete infinitamente, então dizemos que o período é 3.
Como transformar decimais em frações?
Transformando decimal exata em frações
Quando a decimal é exata
Podemos transformá-la em uma fração em que o numerador é o numeral decimal sem a vírgula e o denominador é o algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do numeral dado. Por exemplo:
\(0,41 = \frac{41}{100} \)
\(2,417 = \frac{2417}{1000} \)
Quando a decimal não é exata
Nesse caso devemos procurar a sua geratriz.
I) 0,7777…
\(x = 0,7777…\) (i)
\(10x = 7,7777…\) (ii)
fazendo (ii) – (i) obtemos:
\( 10x – x = 7,7777… – \; 0,7777… \)
\( 9x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{9}\)
II) 6,434343…
\( x = 6,434343… \) (i)
\(100x = 643,434343… \) (ii)
fazendo (ii) – (i) obtemos:
\(100x – x= 643,434343… – \; 6,434343… \)
\(99x = 637 \Rightarrow x = \frac{637}{99}\)
III) 2,57919191…
\( x = 2,57919191…\)
\(100x = 257,919191…\) (i)
\(10000x = 25791,9191…\) (ii)
fazendo (ii) – (i) obtemos:
\(10000x – 100x = 25791,9191… – \; 257,919191…\)
\(9900x = 25534 \Rightarrow x = \frac{25534}{9900}\)
Referências:
Iezzi, Gelson Fundamentos de matemática elementar, 1: conjuntos, funções / Gelson Iezzi, Carlos Murakami. — 9. ed. — São Paulo : Atual, 2013.
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