O que é o conjunto dos números naturais?
“Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens.”
Leopold Kronecker
Desde o início do seu desenvolvimento a humanidade tem a necessidade de contar, os números naturais foi a ferramenta desenvolvida ao longo dos anos para satisfazer esse nossa necessidade. Imagine que a milhares de anos atrás você e seu amigo tinham ovelhas, os dois eram donos de um pedaço de terra e criavam esses lindos animaizinhos para serem abatidos de forma cruel e se tornarem alimento.
Seu amigo tinha também uma plantação de abobrinhas e você gosta muito de abobrinhas e sabe que o rebanho do seu amigo não esta tão bem assim, por que ele vendeu todas as ovelhas fêmeas só restaram para ele os machos, assim, o rebanho não podia mais se reproduzir. Então você sugere a ele trocar algumas ovelhas por umas abobrinhas e ele acha a ideia maravilhosa. Mas quantas ovelhas você tem e quantas você dará ao seu amigo? Quantas irão sobrar para você? Com esse exemplo tosco vemos a necessidade de contar.
Os número naturais são usados para contagens, códigos, ordenações e medidas de grandezas.
O conjunto dos números naturais realiza essa tarefa básica, ele é formado pelos números 0, 1, 2, 3, 4, 5, … e representado pelo símbolo \( \mathbb{N} \) que em notação de conjunto fica da seguinte forma:
\( \mathbb{N} = \left\{0, 1, 2, 3, …\right\} \)
Como pode observar o primeiro elemento desse conjunto é o zero. O sucessor é o 1 e o sucessor do 1 é o 2 assim em diante. Observe que para qualquer número natural que se tenha basta adicionar 1 para obter o seu sucessor. Se temos 1 e queremos o seu sucessor basta fazer 1 + 1 = 2, se temos o 5 e queremos o seu sucessor fazemos 5 + 1 = 6. Podemos generalizar dizendo que para qualquer número natural n podemos obter o seu sucessor fazendo n + 1.
Como sempre é possível obter um sucessor dizemos que o conjunto dos números naturais é infinito. Tal fato é representado pelas reticencias após o número 3 na nossa notação de conjunto.
Nesse conjunto são definidas duas operações fundamentais, a adição e a multiplicação. Essas duas operações são fechadas no conjunto dos naturais, isso significa que sempre que somar dois números naturais ou multiplicar dois números naturais sempre resultará num número também natural. Vejamos agora alguns exemplos de número naturais são usados para contagens, códigos, ordenações e medidas de grandezas.
Números naturais usados para contagens
- A população brasileira é de 212,6 milhões (2020) (contagem de pessoas);
- a população mundial é de 8 bilhões de pessoas (contagem de pessoas);
- temos mais de 800.000 espécies conhecidas de insetos (contagem de espécies de insetos).
Números naturais usados para códigos
- Número do CPF;
- CEP de uma rua;
- Número da sua casa.
Números naturais usados para ordenações
- Classificação em 1º, 2º ou 3º em um podium;
- o 1º estado brasileiro em superfície é o Amazonas e o 2º é o Pará.
Números naturais usados para medidas de grandezas
- são 8 horas;
- tem 10 cm;
- preciso de 2 litros de água;
- peso 89 kg;
- a uma velocidade de 80 km/h.
Os números naturais formam uma sequências numérica
Normalmente, a primeira sequência de números que conhecemos, antes mesmo de entrar na escola, é a sequência dos números naturais.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …
Mas como obtemos os números naturais? Cada número, a partir do zero, que é o primeiro, é igual ao anterior mais 1. Temos aí a ideia de sucessor e antecessor de um número natural.
1 = 0 + 1; 1 é o sucessor de 0 (0 é o antecessor de 1)
2 = 1 + 1; 2 é o sucessor de 1 (1 é o antecessor de 2)
3 = 2 + 1; 3 é o sucessor de 2 (2 é o antecessor de 3)
4 = 3 + 1; 4 é o sucessor de 3 (3 é o antecessor de 4)
…
5954 = 5953 + 1; 5954 é o sucessor de 5953 (5953 é o antecessor de 5954)
…
Quais são as propriedades dos números naturais?
I) Associativa da adição
\( \left( a + b\right) + c = a + \left(b + c\right) \)
com, \( a,\; b, \;c \in \mathbb{N} \).
Isso quer dizer que se pegar três números naturais quaisquer e primeiro somar a com b, pegar o resultado e somar com c você obtém o mesmo resultado quando soma b com c, pega o resultado e soma com a.
(3 + 6) + 7 = (9) +7 = 16
3 + (6 + 7) = 3 + (13) = 16
II) Comutativa da adição
\( a + b = b + a \)
com, \( a,\; b, \in \mathbb{N} \).
Isso quer dizer que ordem em que você soma não é relevante, veja:
4 + 1 = 5
1 + 4 = 5
III) Elemento neutro da adição
\( a + 0 = a \)
com, \( a, \in \mathbb{N} \).
Qualquer número natural somado com 0 é igual a ele mesmo, veja um exemplo:
5 + 0 = 5
IV) Associativa da multiplicação
\( \left( a \cdot b\right) \cdot c = a \cdot \left(b \cdot c\right) \)
com, \( a,\; b, \;c \in \mathbb{N} \).
Isso quer dizer que se pegar três números naturais quaisquer e primeiro multiplica a com b, pegar o resultado e multiplica com c você obtém o mesmo resultado quando multiplica b com c, pega o resultado e multiplica com a.
(3 x 6) x 7 = (18) x 7 = 126
3 x (6 x 7) = 3 x (42) = 126
V) Comutativa da multiplicação
\( a \cdot b = b \cdot a \)
com, \( a,\; b, \in \mathbb{N} \).
Isso quer dizer que ordem em que você multiplica não é relevante, veja:
3 x 6 = 18
6 x 3 = 18
VI) Elemento neutro da multiplicação
\( a \cdot 1 = a \)
com, \( a, \in \mathbb{N} \).
Todo número multiplicado por 1 resulta nele mesmo.
VII) Distributiva da multiplicação relativamente à adição
\( a \cdot \left( b + c\right) = a \cdot b + a \cdot c \)
com, \( a,\; b, \;c \in \mathbb{N} \).
A propriedade distributiva estabelece que se você tem um número a natural qualquer multiplicando uma soma você deve calcular o produto de a por cada parcela da soma e somente após isso somar os produtos obtidos.
Os próximos conjuntos que iremos estudar são ampliações dos números naturais, ou seja, são conjuntos com outros elementos mas que contem os números naturais, e possuem a adição e a multiplicação com as propriedades já apresentadas e outras mais, que em geral é o motivo da ampliação.
Alerta de spoiler. Onde esta os números negativos dentro dos números naturais? Não existem. Sendo assim a operação de subtração não é fechada no conjunto dos números naturais porque você pode fazer 5 – 2 por que resulta 3, mas não pode fazer 2 – 5 por que não existe -3 dentro do conjunto dos números naturais. E para superar essa dificuldade foi inventado um outro conjunto numérico (conjunto dos números inteiros).
Subconjuntos importantes de números naturais
Números naturais sem o zero
O primeiro subconjunto dos números naturais são os naturais sem o zero. Representado por \(\mathbb{N^{*}}\):
\(\mathbb{N^{*}} = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …\right\}\)
Sempre que quiser excluir o zero de um conjunto basta colocar um asterisco (*) no símbolo que o representa, por exemplo \(\mathbb{N^{*}}, \mathbb{Z^{*}},\mathbb{Q^{*}} \) etc.
Números naturais pares
Chamaremos de P o conjunto de números naturais que são da forma 2n, com \(n \in \mathbb{N}\).
Atenção! Todo número par p pode ser escrito na forma p = 2n em que n é natural.
\(P = \left\{0, 2, 4, 6, 8, …\right\} = \left\{2n; n \in \mathbb{N}\right\}\)
O conjunto P é um subconjunto de números naturais por que todo elemento de P esta contido em \( \mathbb{N}\)
Observe que para obter os números pares iniciamos do 0 e somamos 2 para obter o próximo termo da sequência.
Números naturais impares
Chamaremos de I o conjunto de números naturais que são da forma 2n + 1, com \(n \in \mathbb{N}\).
Atenção! Todo número impar i pode ser escrito na forma i = 2n + 1 em que n é natural.
\(I = \left\{1, 3, 5, 7, 9, …\right\} = \left\{2n + 1; n \in \mathbb{N}\right\}\)
O conjunto I é um subconjunto de números naturais por que todo elemento de I esta contido em \( \mathbb{N}\).
Observe que para obter os números pares iniciamos do 1 e somamos 2 para obter o próximo termo da sequência.
Sequência dos números primos
Não vou entrar em muitos detalhes de como obter os números primos agora, veremos isso mais adiante. Mas observe que a sequência é:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67…
Mais para frente teremos uma aula somente sobre esse assunto. Por que precisamos dominar alguns outros conceitos e operações antes.
Operações fechadas no conjunto dos naturais
Quando falamos em uma operação fechada dentro de um determinado conjunto estamos querendo dizer que sempre que você efetuar tal operação o resultado será um número que pertence a esse conjunto também.
No conjunto dos números naturais as operações que são fechadas é a soma e a multiplicação ou seja sempre que efetuar uma soma entre dois números naturais ou uma multiplicação o resultado será um número natural.
Se m e n são naturais, então m + n e m \(\cdot\) n também serão sempre naturais.
Referencias:
Iezzi, Gelson Fundamentos de matemática elementar, 1: conjuntos, funções / Gelson Iezzi, Carlos Murakami. — 9. ed. — São Paulo : Atual, 2013.
Dante, Luiz Roberto Matemática: contexto & aplicações / Luiz Roberto Dante. – 2. ed. – São Paulo: Ática, 2013. Obra em 3 v.
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