O que é radiciação?
Definição
Dado um número real \(a \leq 0\) e um número natural n, \(n \leq 1\), é demonstrável que existe sempre um número real positivo ou nulo \(b\) tal que \(b^n = a\).
Ao número \(b\) chamamos raiz enésima aritmética de a e indicaremos pelo símbolo \(\sqrt[n]{a}\), em que a é chamado de radicando e n é o índice.
\begin{aligned} &\sqrt[5]{32}=2 \text { porque } 2^{5}=32 \\ &\sqrt[3]{8}=2 \text { porque } 2^{3}=8 \\ &\sqrt{9}=3 \text { porque } 3^{2}=9 \\ &\sqrt[7]{0}=0 \text { porque } 0^{7}=0 \\ &\sqrt[6]{1}=1 \text { porque } 1^{6}=1 \end{aligned}
Observações:
1) (\sqrt{36}=6) e não (\sqrt{36}=\pm 6).
2) Da definição decorre ((\sqrt[n]{a})^{n}=a), para todo (a \geq 0).
3) Atenção quando for fazer o cálculo da raiz quadrada de um quadrado perfeito, pois:
$$ \sqrt{a^{2}}=|a| $$
Exemplos:
\(\sqrt{(-5)^{2}}=|-5|=5\) e não \(\sqrt{(-5)^{2}}=-5\)
\(\sqrt{\mathrm{x}^{2}}=|\mathrm{x}|\) e não \(\sqrt{x^{2}}=x\)
Propriedades:
Se \(a \in \mathbb{R}_{+}, b \in \mathbb{R}_{+}, m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}^{*}\) e \(p \in \mathbb{N}^{*}\), temos:
Se \(a \in \mathbb{R}_{+}, b \in \mathbb{R}_{+}, m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}^{*}\) e \(p \in \mathbb{N}^{*}\), temos:
\({\mathbf{P}_{\mathbf{1}}. \sqrt[n]{a^{m}}=\sqrt[n \cdot p]{a^{m} \cdot p}, \text { para } a \neq 0 \text { ou } m \neq 0} \)
\({\mathbf{P}_{2}.\sqrt[n]{a \cdot b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}} \)
\({\mathbf{P}_{3}. \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}(b \neq 0)} \)
\({\mathbf{P}_{\mathbf{4}}. (\sqrt[n]{a})^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}, \text { para } a \neq 0 \text { ou } m \neq 0} \)
\( {\mathbf{P}_{5}. \sqrt[p]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[p n]{a}} \)
Note que, se \(b \in \mathbb{R}\) e \(n \in \mathbb{N} *\), temos:
1) para \(b \geqslant 0, \quad b \cdot \sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{a \cdot b^{n}}\)
2) para \(b<0, \quad b \cdot \sqrt[n]{a}=-\sqrt[n]{a \cdot|b|^{n}}\)
isto é, o coeficiente \(b\) do radical (a menos do sinal) pode ser colocado no radicando com expoente igual ao índice do radical.
Potência de expoente racional
Dados a \(\in \mathbb{R}_{+}^{*}\) e \(\frac{p}{q} \in \mathbb{R}\left(p \in \mathbb{Z}\right.\) e \(\left.\mathrm{q} \in \mathbb{N}^{*}\right)\), define-se potência de base a e expoente \(\frac{p}{q}\) pela relação:
$$ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^{p}} $$
Se \(a=0\) e \(\frac{p}{q}>0\), adotamos a seguinte definição especial:
$$ 0^{\frac{p}{q}}=0 $$
Exemplos:
1)\(3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\)
2)\(7^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{7^{-2}}=\sqrt[3]{\frac{1}{49}}\)
3)\(2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}\)
4)\(\left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}}=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}\)
1) 0 símbolo \(0^{\frac{p}{q}} \operatorname{com} \frac{p}{q}<0\) não tem significado, pois \(\frac{p}{q} \in \mathbb{D}\) e \(q \in \mathbb{N} * \Rightarrow\) \(\Rightarrow \mathrm{p}<\mathrm{O} \Rightarrow \mathrm{O}^{\mathrm{p}}\) não tem significado.
2) Toda potência de base positiva e expoente racional é um número real positivo:
$$ a>0 \Rightarrow a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^{p}}>0 $$
Propriedades
As propriedades para as potências de expoente racional.
Se \(a \in \mathbb{R}_{+}^{*}, b \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}\) e \(\frac{r}{s} \in \mathbb{Q}\), então valem as seguintes propriedades:
\(P_{1}) \quad a^{\frac{p}{q}} \cdot a^{\frac{r}{s}}=a^{\frac{p}{q}+\frac{r}{s}}\)
\(P_{2}) \quad \frac{a^{\frac{p}{q}}}{a^{\frac{r}{s}}}=a^{\frac{p}{q}-\frac{r}{s}}\)
\(P_{3}) \quad (a \cdot b)^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{p}{q}} \cdot b^{\frac{p}{q}}\)
\(P_{4}) \quad \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{p}{q}}=\frac{a^{\frac{p}{q}}}{b^{\frac{p}{q}}}\)
Referencias
Fundamentos de matemática elementar, 2: logaritmos / Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, Carlos Murakami. — 10. ed. — São Paulo : Atual, 2013.
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