Isolamento de Raízes e Método Gráfico

Zero de funções reais

O objetivo desse estudo é encontrar um intervalo onde a(s) raíz(es) ou zero(s) de uma equação.

Um número real \(\xi\) é um zero de uma função \(f(x)\) ou raiz da equação \(f(x) = 0\) se \(f(\xi) = 0\). Sabemos que uma função pode ter raízes reais ou complexas, mas estamos interessados somente nos zeros reais de \(f(x)\).

Você deve ter muita experiencia encontrando zeros de funções polinomiais de segundo grau, com esse tipo de equação podemos encontrar as raízes através dos coeficientes. Porém no caso de equações com grau três ou mais alto é praticamente impossível encontrar os zeros exatamente por isso buscamos por aproximações; mas isso não é uma limitação muito séria, por que com os métodos que iremos estudar podemos encontrar os zeros de uma função com qualquer precisão prefixada.

O processo consiste de dois passos:

• Fase 1: Localização ou isolamento das raízes, que consiste em obter um intervalo que contém a raiz;
• Fase 2: Refinamento, que consiste em, escolhidas aproximações iniciais no intervalo encontrado no passo 1, melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão \(\varepsilon\) prefixada.

Fase 1: Isolamento das raízes

Primeiro fazemos uma análise teórica para determinar o(s) intervalo(s) onde está localizado as raízes da nossa função. Nesse processo verificamos:

• domínio;
• continuidade;
• troca de sinal;
• analise da derivada.

Fazemos uma análise teórica e gráfica da função \(f(x)\) para determinar o intervalo que contém o zero da função.

Nessa analise usamos muito o teorema do anulamento ou Teorema de Bolzano.

Seja \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) uma função contínua num intervalo \([\mathrm{a}, \mathrm{b}]\).

Se \(\mathrm{f}(\mathrm{a}) \cdot \mathrm{f}(\mathrm{b})<0\) então existe pelo menos um ponto \(\mathrm{x}=\xi\) entre a e b que é zero de \(f(x)\).

Usamos esse teorema para verificar a troca de sinal dentro de algum intervalo. Para isso precisamos tabelar \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) para vários valores de \(\mathrm{x}\) e analisar as mudanças de sinal de \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) e o sinal da derivada nos intervalos em que \(f(x)\) mudou de sinal.

Exemplo 1:

\(f(x)=x^3-9 x+3\)

Domínio

\(D_f={x \in \mathbb{R} \text{ tal que } -\infty<x<\infty}=(-\infty, \infty)\)

Continuidade

É continua para todo x pertencente aos reais.

Troca de sinal

Construindo uma tabela para \(f(x)\) e considerando apenas os valores iniciais:

\begin{array}{c|cccccccccccc} \mathrm{x} & -\infty & -100 & -10 & -5 & -3 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \mathrm{f}(\mathrm{x}) & – & – & – & – & + & + & + & – & – & + & + & + \end{array}

Observando as variações de sinal podemos concluir que cada um dos intervalos \(\mathrm{I}_1=[-5,-3], \mathrm{I}_2=[0,1]\) e \(\mathrm{I}_3=[2,3]\) contém pelo menos um zero de \(f(x)\) e como \(f(x)\) é um polinômio de grau 3, podemos afirmar que cada intervalo contem um único zero de \(f(x)\); assim, localizamos todas as raízes de \(f(x) = 0\).

Para verificar a troca de sinal quando a função assume valore gigantescos ou minúsculos usamos limite.

Como \(D_f=(-\infty, \infty)\), então:

$$ \begin{gathered} \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x^3-9 x+3\right)=-\infty \\ \therefore \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty \end{gathered} $$

e

$$ \begin{gathered} \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^3-9 x+3\right)=+\infty \\ \therefore \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty \end{gathered} $$

Logo, temos que \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) é contínua em seu domínio de definição \(D_f\), e \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x) . \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)<0\).

Concluímos, pelo Teorema do Anulamento (Teorema de Bolzano), que \(f(x)\) possui pelo menos um zero (raiz) em seu domínio de definição.

Derivada:

Como \(f(x)=x^3-9 x+3 \Rightarrow f^{\prime}(x)=3 x^2-9\)

Logo, \(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 3 x^2-9=0 \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{3}\).

Portanto,

\(\forall x \in(-\infty,-\sqrt{3}) \cup(-\sqrt{3}, \infty) \Rightarrow f^{\prime}(x)>0\)

\(\forall x \in(-\sqrt{3}, \sqrt{3}) \Rightarrow f^{\prime}(x)<0\)

Podemos usar uma tabela para verificar o sinal da derivada dentro de alguns intervalos

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & -5 & -3 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline f(x) & <0 & -77 & +3 & +11 & +3 & -5 & -7 & +3 & +31 \\ \hline f^{\prime}(x) & >0 & >0 & >0 & <0 & <0 & <0 & >0 & >0 & >0 \\ \hline \end{array} $$

Exemplo 2:

\(f(x)=\sqrt{x}-5 e^{-x}\)

Construindo uma tabela com os valores de \(f(x)\):

\begin{array}{c|ccccc} \mathrm{x} & 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots \\ \hline \mathrm{f}(\mathrm{x}) & – & – & + & + & \cdots \end{array}

Vemos que existe um zero no intervalo (1, 2).

Calculando a derivada:

\(f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}+5 e^{-x}>0, \forall x>0\)

Como a derivada é positiva podemos concluir que f(x) admite um único zero em todo seu domínio de definição e este zero está no intervalo (1, 2).

E quando \(\mathrm{f}(\mathrm{a}) \mathrm{f}(\mathrm{b})>0\) então podemos ter várias situações no intervalo \([\mathrm{a}, \mathrm{b}]\)

A análise gráfica é fundamental para obter uma boa aproximação para a raiz. Na analise gráfica você segue os seguintes passos:

1. esboçar o gráfico da função \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) e localizar as abcissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo \(\overrightarrow{\text { ox}}\);
2. a partir da equação \(f(x)=0\), obter a equação equivalente \(g(x)=h(x)\), esboçar os gráficos das funções \(\mathrm{g}(\mathrm{x})\) e \(\mathrm{h}(\mathrm{x})\) no mesmo eixo cartesiano e localizar os pontos \(\mathrm{x}\) onde as duas curvas se interceptam, pois neste caso \(f(\xi)=0 \Leftrightarrow \mathrm{g}(\xi)=\mathrm{h}(\xi)\)
3. usar os programas que traçam gráficos de funções, disponíveis em algumas calculadoras ou softwares matemáticos.

Fase 2: refinamento

Existem vários métodos numéricos de refinamento da raiz. Todos os métodos são iterativos, ou seja, é uma sequência de instruções que são executadas passo a passo, algumas repetidas em ciclos. A execução do ciclo recebe o nome de iteração. Cada iteração usa o resultado da iteração anterior.

Cada um dos métodos que veremos fornece uma aproximação do valor exato da raiz.[

Dentre eles temos:

Método da bisseção

Referências:

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books