Introdução as funções
Funções é um conteúdo que esta intimamente ligado a relações, mais do que isso toda função é uma relação com características especiais então antes de iniciar os estudos em funções não deixe de conferir nosso conjunto de posts sobre relações. Mas faremos aqui um breve resumo sobre o assunto. Acompanhe:
Considere os conjuntos: A = {0, 1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2, 3} e as relações binárias de A em B.
\( R = \left\{\left(x, y\right) \in A \times B \; |\; y = x\right\} \)
\( T = \left\{\left(x, y\right) \in A \times B \; |\; y = x + 1\right\} \)
Observe que a relação R possui uma particularidade: “para todo x \(\in \) A existe um só y \( \in \) B tal que (x, y) pertence à relação”. Todas as relações que satisfazem essa condição são chamadas de funções de A em B ou aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B.
Definição de funções
Dados dois conjuntos de números reais A e B diferentes de vazio, e uma relação f de A em B recebe o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B se, somente se, para todo \(x \in A\) existe um só \(y \in B\) tal que \( \left(x, y \right) \in f \).
\(f \; é \; aplicação \; de \; A \; em \; B \Leftrightarrow \left(\forall x \in A, \exists \; y \in B \; | \; \left(x, y\right) \in f \right) \)
Esquema de flechas
Podemos verificar se uma relação f é uma função através de um esquema de flechas. Será uma função se satisfazer dois pontos:
- Todo elemento \(x \in A \) participe de pelo menos um par \( \left(x, y\right) \in f\), ou seja, os elementos de A serão a ponta de partida da flexa.
- Cada elemento \(x \in A \) deve participar de apenas um único par \( \left(x, y\right) \in f\), ou seja, deve ser o ponto de partida de uma única flexa.
Dizemos que uma relação f não é uma função ou aplicação se não satisfazer uma das condições acima, ou seja, se tiver um elemento de A do qual não parte nenhuma flecha ou se existir um elemento de A do qual partam duas ou mais flechas.
Gráfico cartesiano
Podemos também verificar se uma relação é uma função pela representação cartesiana da relação f de A em B. Basta verificarmos se a reta paralela ao eixo y conduzida pelo ponto (x, 0), em que \(x \in A \), encontra sempre o gráfico de f em um só ponto.
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Referências:
Iezzi, Gelson. Fundamentos da matemática elementar, 1: conjuntos, funções / Gelson Iezzi, Carlos Murakami. – 9. ed. — São Paulo: Atual, 2013.
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