A noção de conjuntos
A teoria dos conjuntos é uma linguagem perfeitamente adequada para descrever e explicar diversos tipos de estruturas matemáticas.
O matemático mais conhecido por desenvolver essa teoria é Georg Cantor (1845 – 1918), nascido em São Petersburgo, mas que passou a maior parte da vida na Alemanha.
Primeira coisa que devemos fazer ao iniciar nossos estudos em conjuntos é entender o que eles são e qual o significado dessa palavra.
A noção de conjunto é bastante simples e fundamental na Matemática, pois a partir dela podem ser expressos todos os conceitos matemáticos. A noção básica de conjunto não é definida, ou seja, é aceita intuitivamente e, por isso, chamada noção primitiva.
Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos.
Conjuntos é sinônimo de coleção, agrupamento ou reunião de coisas. Essas coisas são chamadas de elementos. No supermercado ou em feiras as mercadorias os produtos que possuem características semelhantes são mantidos juntos. O mesmo raciocínio é utilizado na teoria de conjuntos.
Exemplos:
I) conjunto das vogais do nosso alfabeto: C = {a, e, i, o, u}
II) conjunto dos números primos: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
III) conjunto dos quadriláteros: Q = {quadriláteros}
Estamos preocupados com os conjuntos cujos elementos são entidades matemáticas, como números, pontos, funções, etc.
Elemento e pertinência
Existem mais duas palavrinhas que são muito importantes quando falamos de conjuntos que são: elemento e pertinência. Essas três noções são aceitas sem definição, a noção de conjunto, elemento e a pertinência as três são consideradas noções primitivas.
O que é elemento de um conjunto?
Um conjunto é formado por elementos. Um objeto a qualquer pode ser elemento de um determinado conjunto A. Nós chamamos de elemento do conjunto tudo que faz parte do conjunto. Dizemos que a pertence a A e escrevemos:
\(a \in A \)
Quando não pertence dizemos que a não pertence a A e escrevemos:
\( a \notin A\)
O que é a relação de pertinência?
É estabelecido a relação de pertinência, quando verificamos se um elemento pertence ou não pertence a um conjunto essa simples ação é chamada de relação de pertinência entre elemento e conjunto.
Como dar nomes aos conjuntos ?
Por convenção todos os nomes de conjuntos devem ser dados por letras maiúsculas, e sempre que precisar usar uma letra para representar um elemento deve ser uma letra minúscula, como deve ter reparado nos exemplos acima.
Pertence ou não pertence?
Considere o conjunto das vogais do nosso alfabeto. Quais elementos pertencem a esse conjunto? Temos o a, e, i, o e u. Podemos dizer que todos esses elementos pertencem a esse conjunto. E o elemento b? B faz parte do alfabeto, mas ele não pertence ao conjunto das vogais, então dizemos que b não pertence ao conjunto das vogais. Em notação matemática temos um símbolo para representar se um elemento pertence ou não a um determinado conjunto. Como já vimos que podemos usar uma letra maiúscula para dar nomes aos nossos conjuntos vamos chamar de V o conjunto das vogais do nosso alfabeto.
\( b \notin v \)
Lê-se: b não pertence a V.
\( a \in V \)
Lê-se: a pertence a V
Como descrever um conjunto?
Para descrever um conjunto podemos usar duas técnicas: descrever os elementos entre chaves e separados por vírgula ou usar uma propriedade ou condição que é comum a todos os elementos do conjunto.
Considerando o conjunto de vogais do nosso alfabeto e quisermos descrever o conjunto citando os seus elementos:
\( A = \left\{a, e, i, o, u \right\} \)
Agora se quisermos descrever por meio de uma propriedade temos que colocar na forma G = {x | x tem a propriedade p}, ou seja:
\( V= \left\{x \; | \; x \; é \; uma \; vogal \right\} \)
Lê-se: V é igual a x tal que x é uma vogal.
Veja mais alguns exemplos de conjuntos expresso através de uma propriedade:
p: x é um número natural ímpar.
Essa propriedade pode ser expressa pelo conjunto:
I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}
Assim, é indiferente dizer que x possui a propriedade p ou que x pertence a I \( \left(x \in I\right) \).
Consideremos agora a condição c:
c: x é um número natural que satisfaz a condição x > 5.
Essa condição pode ser expressa pelo conjunto:
A = {6, 7, 8, 9, 10, …}
Nesse caso, também é indiferente dizer que x satisfaz a condição c ou que \( x \in A\).
Mas e se tivermos conjuntos com 250 elementos? Temos que escrever tudo isso? Claro que não. Podemos usar as reticencias.
\( C = \left\{1, 2, 3, …, 250 \right\} \)
E é assim que representamos um conjunto finito com um número de elementos muito grande. Agora digamos que seja um conjunto infinito, você não quer parar no 250 e quer continuar contando para sempre. Usamos as reticencias também.
\( I= \left\{1, 2, 3, 4, …\right\} \)
Exercícios:
1) Cite os elementos dos conjuntos abaixo:
A) \( A = \left\{j, \; f, \; m, \; a, \; h \right\} \)
B) \( B = \left\{0,\; 1, \;3,\; 7,\; 9 \right\} \)
C) \( C = \left\{casa, \; carro, \; boi, \; antena \right\} \)
Clique aqui para ir a playlist de exercícios.
Referências:
Iezzi, Gelson. Fundamentos da matemática elementar, 1: conjuntos, funções / Gelson Iezzi, Carlos Murakami. – 9. ed. — São Paulo: Atual, 2013.
Dante, Luiz Roberto Matemática : contexto & aplicações / Luiz Roberto Dante. – 2. ed. – São Paulo : Ática, 2013. Obra em 3 v.
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