Os números naturais
Os números naturais forma um conjunto de elementos que são descritos de modo ordenado. Observe:
\( 1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6, … \)
Claro que não podemos descrever o conjunto completo, pois os seus elementos não tem fim, ou seja o conjunto dos números naturais são em quantidade infinita. Mas todos nos entendemos do que se trata por ser algo corriqueiro em nosso dia a dia. Tudo se inicia do numero um que representa a unidade e é descrito pelo símbolo \(1\). Cada elemento desse conjunto tem que ser representado por um símbolo distinto mas como ter infinitos símbolos? Não precisamos disso. Pois a engenhosidade foi criar um sistema decimal posicional.
Os números naturais permitem contar objetos e também subconjuntos dele mesmo. De 1 até n, \( n \in \mathbb{N} \) temos n números naturais.
Ordem dentro dos naturais
Dados dois números a e b, se a aparece a esquerda de b dizemos que a é menor que b e representamos da seguinte forma:
\( a < b \)
O número b que se encontra a direita de a é maior do que a e pode ser representado da seguinte forma:
\(b > a\)
Também podemos escrever \(a \leq b \) para representar que:
\(a < b \;ou \; a = b \)
Essa relação de ordem tem a propriedade transitiva, ou seja, dados a, b e c \( \in \mathbb{N}\) é valido que:
\( se \; a < b \; e \; b < c \; então \; a < c \)
Lei da tricotomia
A ordem nos naturais é total, o que significa que dados dois naturais a e b é verificada apenas umas das três possibilidades:
\(a < b \;ou \; a = b \; ou \; a > b\)
Intervalos
\([a, b] \) conjunto de elementos x tal que \( a \leq x \leq b \)
\((a, b) \) conjunto de elementos x tal que \( a < x < b \)
\((a, b] \) conjunto de elementos x tal que \( a < x \leq b \)
\([a, b) \) conjunto de elementos x tal que \( a \leq x < b \)
Determine os elementos dos seguintes intervalos: [2, 5], (3, 5), [8, 9), [4, 7].
Princípio da boa ordem
O princípio da boa ordem diz que todo subconjunto não vazio do conjunto dos números naturais possui um menor elemento. Dado um conjunto \( A \neq \varnothing \) de \(\mathbb{N}\) existe um elemento a de A tal que \(a \leq b\), para todo elemento b de A.
Determine o menor elemento de cada um dos seguintes conjuntos: [2, 8], (2, 7], (4, 5), [4, 9].
Adição
Adição é a operação básica no conjunto dos naturais. Dado um número natural \(a\), o sucessor de \(a\) é representado por \(a + 1\).
Sejam dados dois números naturais \(a\) e \(b\), quaisquer. Podemos deslocar a de b posições para a direita, e assim obtemos um número que será denotado por \(a + b\). Essa operação é chamada de adição e o número \(a + b\) é chamado de soma.
Seja \(a = 5\) e \(b = 3\), deslocando a de três posições para a direita, obtemos a sequência 2, \(5+1 = 6 \), \(6+1 = 7\), \(7+1 = 8\), assim \(5 + 3=8\).
Propriedade comutativa da adição
Para quaisquer que sejam os números naturais a e b, temos que:
\( a + b = b + a \)
Elemento neutro da adição
Para representar o não deslocamento de um número usamos o elemento zero. Dizemos que deslocamos o número a zero posições para a direita quando não o movemos do seu lugar,
\(a + 0 = a \)
Colocamos o número zero a esquerda de todos os números naturais a ou seja \(0 < a\) para todo \(n \in \mathbb{N}\)
\( 0, \; 1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6, … \)
chamamos esse novo conjunto de conjunto ampliado dos números naturais.
Portando é claro que,
\(0 + a = a = a + 0 \)
Propriedade associativa da adição
Quaisquer que sejam os números a, b e c \(\in \mathbb{N}\), tem-se
\( \left( a+b\right) +c = a + \left(b + c\right) \)
Adição e ordem
Há uma relação de compatibilidade entre a ordem e a adição de números naturais. Dados três números naturais a, b e c quaisquer,
\(se \;a < b,\; então\; a+c < b+c\)
Demonstração: usando a lei da tricotomia, temos que verificar uma das três possibilidades:
\(a < b \;ou \; a = b \; ou \; a > b\)
O primeiro caso não pode ser verificado, pois se \( b < a \) teríamos \(b + c < a + c\) o que contraria a nossa hipótese de que \(a < b\).
O segundo caso também não pode ser verificado, pois se \(a = b \), teríamos \(a + c = b + c\) o que também esta em contradição com a nossa hipótese.
A única possibilidade é \(a < b \).
O que estamos fazendo é deslocar simultaneamente a e b de c posições à direita, assim podemos ver que a \( a+c\) se mantém a esquerda de \(b+c\). A propriedade admite a recíproca,
\(se\; a+c<b+c,\; então\; a < b\)
Propriedade do cancelamento
Dados três números a, b e c quaisquer,
\(se \; a+c = b+c,\; então \; a=b\)
Mostre que:
\(se \; a<b = c<d,\; então \; a+c<b+d\)
vale a recíproca dessa propriedade?
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