O que são inequações produto?
Sendo f(x) e g(x) duas funções na variável x, as inequações abaixo são chamadas de inequação produto.
- \(f(x) \cdot g(x) > 0\)
- \(f(x) \cdot g(x) < 0\)
- \(f(x) \cdot g(x) \geq 0\)
- \(f(x) \cdot g(x) \leq 0\)
Como resolver inequações-produto
Inequações do tipo \(f(x) \cdot g(x) > 0\) possuem solução se, e somente se, \(f(x_{0})\) e \(g(x_{0})\) não nulos tem o mesmo sinal. Sendo assim temos que verificar dois casos:
- \(f(x) > 0 \; e \; g(x) > 0\);
- \(f(x) < 0 \; e \; g(x) < 0\).
No primeiro caso teremos dois conjuntos solução que chamaremos de \(S_{1}\) e \(S_{2}\) e no segundo caso chamaremos de \(S_{3}\) e \(S_{4}\).
A solução final é dada pela intersecção entre \(S_{1}\) e \(S_{2}\) união com \(S_{3}\) e \(S_{4}\).
\(S = \left(S_{1}\cap S_{2}\right) \cup \left(S_{3} \cap S_{4}\right)\).
Inequações do tipo \(f(x) \cdot g(x) \geq 0\), é resolvida da seguinte forma:
\(f(x) \cdot g(x) \geq 0 \Leftrightarrow f(x) \cdot g(x) > 0 \; ou \; f(x) \cdot g(x) = 0\)
Quadro de sinais
Mostrado no vídeo acima.
Inequações-produto com expoente inteiro
Primeiro vamos lembras algumas propriedades sobre as potencias de base real e expoente inteiro:
Toda potência de base real e expoente ímpar conserva o sinal da base.
- \(a^{2n + 1} > 0 \Leftrightarrow a > 0 \)
- \(a^{2n + 1} = 0 \Leftrightarrow a = 0 \)
- \(a^{2n + 1} < 0 \Leftrightarrow a < 0 \)
Toda potência de base real e expoente par é um número não negativo
- \(a^{2n} \geq 0, \forall a \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{Z}\)
Assim sendo, temos as seguintes equivalências:
\([f(x)]^{n} > 0 \Leftrightarrow \begin{cases} & f(x) > 0, \text{ se } n\; for\; ímpar \\ & f(x) \neq 0,\text{ se } n\; for\; par \end{cases} \)
\([f(x)]^{n} < 0 \Leftrightarrow \begin{cases} & f(x) < 0, \text{ se } n\; for\; ímpar \\ & \exists x \in \mathbb{R}, \text{ se } n\; for\; par \end{cases} \)
\([f(x)]^{n} \geq 0 \Leftrightarrow \begin{cases} & f(x) \geq 0, \text{ se } n\; for\; ímpar \\ & \forall x \in D(f) \in \mathbb{R}, \text{ se } n\; for\; par \end{cases} \)
\([f(x)]^{n} \leq 0 \Leftrightarrow \begin{cases} & f(x) \leq 0, \text{ se } n\; for\; ímpar \\ & f(x) = 0, \text{ se } n\; for\; par \end{cases} \)
Referências:
Iezzi, Gelson. Fundamentos da matemática elementar, 1: conjuntos, funções / Gelson Iezzi, Carlos Murakami. – 9. ed. — São Paulo: Atual, 2013.
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