Como mostrar que uma função f de A em B é injetiva?
Abordagem direta
Suponha \(a, a^{\prime} \in A\) e \(a \neq a^{\prime}\).
…
Portanto \(f(a) \neq f\left(a^{\prime}\right)\).
Abordagem contrapositiva
Suponha \(a, a^{\prime} \in A\) e \(f(a) = f \left(a^{\prime}\right)\).
…
Portanto \(a = a^{\prime}\).
Dessas duas abordagens a contrapositiva é a mais fácil de usar, principalmente se \(f\) estiver definida por uma fórmula algébrica. Isso porque a contrapositiva inicia e termina com uma equação.
Para provar que uma função não é injetiva, devemos encontrar um exemplo de dois elementos \(a, a^{\prime} \in A \) tal que \(a \neq a^{\prime}\) e \(f(a) = f\left(a^{\prime}\right)\)
Como mostrar que uma função f de A em B é sobrejetiva?
Suponha \(b \in B\).
[Prove que existe \(a \in A\) tal que \(f(a) = b\).]
Se a função \(f\) for dada como uma fórmula podemos determinar \(a\) resolvendo a equação \(f(a) = b\) para \(a\).
Para mostrar que \(f\) não é sobrejetiva devemos provar a negação de \(\forall b \in B, \exists a \in A, f(a) = b\), para isso devemos provar que \(\exists b \in B, \forall a \in A, f(a) \neq b\).
Exemplo
Mostre que a função \(f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}\) definida como \(f(x)=\frac{1}{x}+1\) é injetiva mas não sobrejetiva.
Usaremos a abordagem contrapositiva para mostrar que \(f\) é injetiva.
Suponha \(a, a^{\prime} \in \mathbb{R}-\{0\}\) e \(f(a)=f\left(a^{\prime}\right)\). Isso significa que \(\frac{1}{a}+1=\frac{1}{a^{\prime}}+1\). Subtraindo 1 de ambos os lados e invertendo as frações \(a=a^{\prime}\). Portanto \(f\) é injetiva.
A função \(f\) não é sobrejetiva por que existe um elemento \(b=1 \in \mathbb{R}\) tal que \(f(x)=\frac{1}{x}+1 \neq 1\) para cada \(x \in \mathbb{R}-\{0\}\).
Exemplo
Mostre que a função \(f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) onde \(f(x)=\frac{1}{x}+1\) é injetiva e sobrejetiva (portanto bijetiva).
Procedemos de forma análoga ao exemplo anterior, a não ser pelo fato de que o contradomínio mudou. O exemplo anterior mostra que \(f\) é injetiva. Para mostrar que é sobrejetiva, basta tomar um valor arbitrário \(b \in \mathbb{R}-\{1\}\). Nos buscamos um \(a \in \mathbb{R}-\{0\}\) para o qual \(f(a)=b\), ou seja, para o qual \(\frac{1}{a}+1=b\). Resolvendo para \(a\) temos que \(a=\frac{1}{b-1}\), o que é válido por que \(b \neq 1\). Resumindo, para qualquer \(b \in \mathbb{R}-\{1\}\), temos que \(f\left(\frac{1}{b-1}\right)=b\), então \(f\) é sobrejetiva.
Exemplo
Mostre que a função \(g: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) definida pela fórmula \(g(m, n)=(m+n, m+2 n)\), é injetiva e sobrejetiva.
Usaremos a abordagem da contrapositiva para mostrar que \(g\) é injetiva. Então devemos mostrar que \(g(m, n)=g(k, \ell)\) implica \((m, n)=(k, \ell)\). Suponha \((m, n),(k, \ell) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) e \(g(m, n)=g(k, \ell)\). Então \((m+n, m+2 n)=(k+\ell, k+2 \ell)\). E segue que \(m+n=k+\ell\) e \(m+2 n=k+2 \ell\). Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos \(n=\ell\). Em seguida, subtraia \(n=\ell\) de \(m+n=k+\ell\) para obter \(m=k\). Sendo \(m=k\) e \(n=\ell\), segue que \((m, n)=(k, \ell)\). Então \(g\) é injetiva.
Para mostrar que \(g\) é subjetiva, considere um elemento arbitrário \((b, c) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\). Nós precisamos mostrar que existe algum \((x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) para o qual \(g(x, y)=(b, c)\). Para encontrar \((x, y)\), Note que \(g(x, y)=(b, c)\) significa \((x+y, x+2 y)=(b, c)\). Isso leva ao seguinte sistema de equações:
\begin{aligned} x+y &=b \\ x+2 y &=c. \end{aligned}
Resolvendo temos \(x=2 b-c\) e \(y=c-b\). Então \((x, y)=(2 b-c, c-b)\). Agora nós temos \(g(2 b-c, c-b)=(b, c)\), e segue que \(g\) é sobrejetiva.
Exemplo
Considere a função \(h: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}\) definida como \(h(m, n)=\frac{m}{|n|+1}\).
Determine se é injetiva ou se é sobrejetiva.
Esta função não é injetiva por causa dos elementos \((1,2)\) e \((1,-2)\) em \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) para o qual \(h(1,2)=h(1,-2)=\frac{1}{3}\). Contudo, \(h\) é sobrejetiva: tome qualquer elemento \(b \in \mathbb{Q}\). Então \(b=\frac{c}{d}\) para algum \(c, d \in \mathbb{Z}\). Note que devemos assumir que \(d\) é positivo fazendo \(c\) negativo, se necessário. Então \(h(c, d-1)=\frac{c}{|d-1|+1}=\frac{c}{d}=b\).
Funções compostas
Definição
Suponha \(f: A \to B\) e \(g: B \to C\) são funções com a propriedade de que o contradomínio de \(f\) é igual ao domínio de g. A composição de \(f\) com \(g\) é outra função, denotada como \(g \circ f\) e definida como: se \(x \in A\), então \(g \circ f(x)=g(f(x))\). Portanto, \(g \circ f\) envia um elemento de A para C, assim \(g \circ f: A \to C\).
Exercícios
1. Seja \(A=\{1,2,3,4\}\) e \(B=\{a, b, c\}\). Dê um exemplo de uma função \(f: A \rightarrow B\) que não seja injetiva nem sobrejetiva.
2. Considere a função logarítmica \(\ln :(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}\). Decida se a função é injetiva ou sobrejetiva.
3. Considere a função coseno \(\cos : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\). Decida se a função é injetiva ou sobrejetiva. E se fosse definida como \(\cos : \mathbb{R} \rightarrow[-1,1]\)?
4. Uma função \(f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) é definida como \(f(n)=(2 n, n+3)\). Verifique se a função é injetiva ou sobrejetiva.
5. Uma função \(f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\) é definida como \(f(n)=2 n+1\). Verifique se a função é injetiva ou sobrejetiva.
6. Uma função \(f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\) é definida como \(f(m, n)=3 n-4 m\). Verifique se a função é injetiva ou sobrejetiva.
7. Uma função \(f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\) é definida como \(f(m, n)=2 n-4 m\). Verifique se a função é injetiva ou sobrejetiva.
8. Uma função \(f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) é definida como \(f(m, n)=(m+n, 2 m+n)\). Verifique se a função é injetiva ou sobrejetiva
9. Prove que a função \(f: \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}\) definida por \(f(x)=\frac{5 x+1}{x-2}\) é bijetiva.
10. Prove que a função \(f: \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) definida por \(f(x)=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{3}\) é bijetiva.
11. Considere a função \(\theta:\{0,1\} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) definida como \(\theta(a, b)=(-1)^{a} b\). \(\theta\) é injetiva? É subjetiva? Bijetiva? Explique.
12. Considere a função \(\theta:\{0,1\} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) definida como \(\theta(a, b)=a-2 a b+b\). \(\theta\) é injetiva? É subjetiva? Bijetiva? Explique.
13. Considere a função \(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) definida pela fórmula \(f(x, y)=\left(x y, x^{3}\right)\). \(f\) é injetiva? É subjetiva? Bijetiva? Explique.
14. Considere a função \(\theta: \mathscr{P}(\mathbb{Z}) \rightarrow \mathscr{P}(\mathbb{Z})\) definida como \(\theta(X)=\bar{X}\). \(\theta\) é injetiva? É subjetiva? Bijetiva? Explique.
15. Para esta questão considere as funções \(f:\{A, B, C, D, E, F, G\} \rightarrow\{1,2,3,4,5,6,7\}\). Quantas funções existem ai? Quantas dessas funções são injetivas? Quantas são subjetivas? Quantas são bijetivas?
16. Para esta questão considere as funções \(f:\{A, B, C, D, E\} \rightarrow\{1,2,3,4,5,6,7\}\). Quantas funções existem ai? Quantas dessas funções são injetivas? Quantas são subjetivas? Quantas são bijetivas?
17. Para esta questão considere as funções \(f:\{A, B, C, D, E, F, G\} \rightarrow\{1,2\}\). Quantas funções existem ai? Quantas dessas funções são injetivas? Quantas são subjetivas? Quantas são bijetivas?
18. Prove que a função \(f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) definida como \(f(n)=\frac{(-1)^{n}(2 n-1)+1}{4}\) é bijetiva.
19. Prove que \(f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) definida como \(f(m, n)=2^{m-1}(2 n-1)\) é bijetiva.
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