A desigualdade de Bernoulli estabelece que:
\(\forall n \in \mathbb{n}\) e \(\forall a \in \mathbb{R}\) com \(a \geq -1\) então \((1 + a)^n \geq 1 + na\)
Demonstração:
Para \(n_{0}=0\) a proposição e verdadeira pois,
$$ \begin{array}{l}
(1+a)^{n}=(1+a)^{0}=1 \\
1+n a=1+0 . a=1
\end{array} $$
Suponhamos que \(P(k)\) é verdadeira
$$ (b+a)^{k} \geq 1+K a \quad(*) $$
e provaremos para \((K+1)\), isto é devemos verificar.
$$ (1+a)^{(k+1)} \geq 1+(k+1) a $$
Temos,
$$ (1+a)^{k+1}=(1+a)^{k}(1+a) $$
por \((*)\) temos \((1+a)^{k} \geq 1+ka\).
Observe que \(a \geq -1\) logo \(1+a \geq 0\) e então multiplicando ambos os membros temos,
$$ \begin{aligned}
(1+a)^{k} & \geq 1+k a \\
(1+a)^{k}(1+a) & \geq(1+k a)(1+a) \\
(1+a)^{k+1} & \geq 1+a+k a+k a^{2} \\
(1+a)^{k+1} & \geq 1+a(1+k)+k a^{2} \geq 1+(k+1) a
\end{aligned} $$
Ou seja,
$$ (1+a)^{k+1} \geq 1+(k+1) a $$
Logo \(\forall n \geq 0\) temos,
$$ (1 + a)^{n} \geq 1+na $$
E esta provada a desigualdade de Bernoulli pelo princípio da indução finita.
Exercício: Dado um número \(a > 0\) , \(\sqrt[n]{a} \to 1\).
Exercício: Mostre que \(\sqrt[n]{n} \to 1\).
Referências
ÁVILA Geraldo Severo de Souza. Análise matemática para licenciatura. 3ª edição. São Paulo: Edgard Blucher, 2001.
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