Conjuntos iguais

Quando dois conjuntos são iguais?

Considere dois conjuntos A e B. Dizemos que dois conjuntos são iguais quando quando todo elemento de A pertence a B e todo elemento de B pertence a A.

\( A = B \Leftrightarrow \left(\forall x \right)\left( x \in A \Leftrightarrow x \in B \right) \)

Por exemplo:

I) \( \left\{a, b, c \right\} = \left\{c, b, a \right\} \)

II) \( \left\{1, 2, 3, 4, 5, … \right\} = \left\{x \; | \; x \; é \; um \; número \; natural \; maior \; do \; que \; zero \right\} \)

III) \( \left\{x \; | \; 4x + 2 = 10 \right\} = \left\{2 \right\} \)

IV) \( \left\{… -4,\; -3,\; -2,\; -1,\; 0, \;1, \;2,\; 3,\; 4…\right\} = \left\{0,\; -1,\;1,\;-2,\;2, \; -3,: 3,\;…\right\} \)

Observe que no exemplo (II) não faz diferença a ordem dos elementos para que dois conjuntos sejam iguais.

\( \left\{a, \; b, \; c \right\} = \left\{c, \; b, \; a \right\} = \left\{b, \; a, \; c \right\} \)

Também não é necessário escrever um mesmo elemento diversas vezes dentro de um conjunto, pois:

\( \left\{a, \; b, \; b, \; b, \; c, \; c \right\} = \left\{c, \; b, \; a \right\} = \left\{b, \; a, \; c \right\} \)

Usando símbolos podemos definir a igualdade de conjuntos da seguinte forma:

\( A = B \Leftrightarrow \left( \forall x \right)\left(x \in A \Leftrightarrow x \in B \right) \)

Quando dois conjuntos não são iguais?

Considere dois conjuntos A e B, A é diferente de B e indicamos por \(A \neq B \) se existe um elemento de A não pertencente a B ou existe em B um elemento não pertencente a A. Por exemplo:

\( \left\{a, \; b, \; c, \; d, \; e\right\} \neq \left\{a, \; b, \; c, \; d \right\} \)

Veja que e pertence a A mas não pertence a B. Logo temos um elemento A que não pertence a B e portanto não são iguais os conjuntos.