O que é o complementar de um conjunto?
Considere dois conjuntos A e B tais que \( B \in A \), o conjunto \(A \; – \; B \) é chamado de complementar de B em relação a A, ou seja, temos o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. Para indiciar o complementar de B em relação A podemos usar dois símbolos diferentes:
\( \textrm{C}_{a}^{b} \; ou \; \overline{B} \)
Exemplos:
I) \( A = \left\{a, \; b, \; c, \; d \right\} \; e \; B = \left\{c, d \right\} \) dizemos que:
\( \textrm{C}_{a}^{b} = \left\{a, \; b \right\} \)
II) \( A = \left\{a, \; b, \; c \right\} = B \) dizemos que:
\( \textrm{C}_{a}^{b} = \varnothing \)
Quais são as propriedades da complementação?
Considere dois conjuntos A e B, subconjuntos de C, valem as seguintes propriedades:
I) \( \textrm{C}_{A}^{B} \cap B = \varnothing \; e \; \textrm{C}_{a}^{b} \cup B = A \)
II) \( \textrm{C}_{A}^{A} = \varnothing \; e \; \textrm{C}_{a}^{\varnothing} = A \)
Demonstração: o complementar de A em relação a A é composto pelos elementos que não pertencem a A mas que pertencem a A, logo temos um conjunto vazio:
\( \textrm{C}_{A}^{A} = \left\{x \in A \; | \; x \notin A \right\} \varnothing \)
E o complementar de vazio em relação a A é o conjunto de todos os elementos que não estão no conjunto vazio mas estão no conjunto A. Ou seja, é o próprio A.
\( \textrm{C}_{a}^{\varnothing} = \left\{x \in A \; | \; x \notin A \right\} = A \)
III) \( \textrm{C}_{A}^{} \left(\textrm{C}_{a}^{b} \right) = B \) (complementar em relação a A do complementar de B em relação a A)
IV) \( \textrm{C}_{A}^{\left(B \cap C\right)} = \textrm{C}_{A}^{B} \cup \textrm{C}_{A}^{C} \)
Demonstração:
\( \textrm{C}_{A}^{\left(B \cap C\right)} = \)
\( = \left\{x \in A \; | \; x \notin B \cap C \right\} = \)
\( = \left\{ x \in A \; | \; x \notin B \; ou \; x \notin C \right\} = \)
\( = \newline \left\{x \in A \; | \; x \notin B \right\} \cap \left\{x \in A \; | \; x \notin C \right\} =\)
\( = \newline \textrm{C}_{A}^{\left(B \cap C\right)} = \textrm{C}_{A}^{B} \cup \textrm{C}_{A}^{C} \)
V) \( \textrm{C}_{A}^{\left(B \cup C\right)} = \textrm{C}_{A}^{B} \cap \textrm{C}_{A}^{C} \)
Referências:
Iezzi, Gelson. Fundamentos da matemática elementar, 1: conjuntos, funções / Gelson Iezzi, Carlos Murakami. – 9. ed. — São Paulo: Atual, 2013.
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