Olá, pessoal preparados para resolver todo o capitulo de derivadas desse livro? Então vamos lá!
Exercícios 7.2
1. Seja \(f(x)=x^{2}+1\). Calcule
a) \(f^{\prime}(1)\)
b) \(f(0)\)
c) \(f^{\prime}(x)\)
Resolução:
\begin{aligned} & f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{2}+1-\left(x^{2}+1\right)}{h}=\\ =& \lim _{h \rightarrow 0} \frac{x^{2}+2 x h+h^{2}+1 – x^{2} – 1}{h} =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 x h+h^{2}}{h}=\\ =& \lim _{h \rightarrow 0} \frac{h(2 x+h)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} 2 x+h=2 x \\ \therefore f^{\prime}(x)=2 x \\ \end{aligned}
\begin{aligned} &f^{\prime}(0)=2 \cdot 0=0 \\ &f^{\prime}(1)=2 \cdot 1=2 \end{aligned}
2. Seja \(f(x)=2 x\). Pensando geometricamente, qual o valor que você espera para \(f^{\prime}(p)\) ? Calcule \(f^{\prime}(p)\)
Resolução:
\begin{aligned} &f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2(x+h)-2 x}{h}= \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 x+2 h \cdot 2 x}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 h}{h}=2 \end{aligned}
3. Seja \(f(x)=3 x+2\). Calcule
a) \(f^{\prime}(2)\)
b) \(f^{\prime}(0)\)
c) \(f^{\prime}(x)\)
Resolução:
\begin{aligned} &f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{3(x+h)+2-3 x-2}{h}= \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{3 x+3 h+2-3 x-2}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{3 h}{h}=3 \end{aligned}
$$\therefore f^{\prime}(x)=3 $$
Sendo assim,
$$ f^{\prime}(2)=3 \text { e } f^{\prime}(0)=3 $$
4. Calcule \(f^{\prime}(p)\), pela definição, sendo dados
a) \(f(x)=x^{2}+x\) e \(p=1\)
b) \(f(x)=\sqrt{x}\) e \(p=4\)
c) \(f(x)=5 x-3\) e \(p=-3\)
d) \(f(x)=\frac{1}{x}\) e \(p=1\)
e) \(f(x)=\sqrt{x}\) e \(p=3\)
f) \(f(x)=\frac{1}{x^{2}}\) e \(p=2\)
g) \(f(x)=2 x^{3}-x^{2}\) e \(p=1\)
h) \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) e \(p=2\)
Resolução:
5. Determine a equação da reta tangente em \((p, f(p))\) sendo dados
a) \(f(x)=x^{2}\) e \(p=2\)
b) \(f(x)=\frac{1}{x}\) e \(p=2\)
c) \(f(x)=\sqrt{x}\) e \(p=9\)
d) \(f(x)=x^{2}-x\) e \(p=1\)
6. Calcule \(f^{\prime}(x)\), pela definição.
a) \(f(x)=x^{2}+x\)
b) \(f(x)=3 x-1\)
c) \(f(x)=x^{3}\)
d) \(f(x)=\frac{1}{x}\)
e) \(f(x)=5 x\)
f) \(f(x)=10\)
g) \(f(x)=\frac{x}{x+1}\)
h) \(f(x)=\frac{1}{x^{2}}\)
7. Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função \(f\), definida e derivável em \(\mathbb{R}\), tal que \(f^{\prime}(1)=0\).
8. Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função \(f\), definida e derivável em \(\mathbb{R}\), tal que \(f^{\prime}(x)>0\) para todo \(x\).
9. Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função \(f\), definida e derivável em \(\mathbb{R}\), tal que \(f^{\prime}(0)<f^{\prime}(1)\).
10. Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função \(f\), definida e contínua em \(\mathbb{R}\), tal que \(f^{\prime}(1)\) não exista.
11. Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função \(f\), definida e derivável em \(\mathbb{R}\), tal que \(f^{\prime}(x)>0\) para \(x<1\) e \(f^{\prime}(x)<0\) para \(x>1\).
12. Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função \(f\), definida e derivável em \(\mathbb{R}\), tal que \(f^{\prime}(x)>0\) para \(x<0, f^{\prime}(x)<0\) para \(0<x<2\) e \(f^{\prime}(x)>0\) para \(x>2\)
13. Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função \(f\), definida e derivável em \(\mathbb{R}\), tal que \(f^{\prime}(0)=0\) e \(f^{\prime}(1)=0\).
14. Mostre que a função
$$ g(x)=\left\{\begin{array}{r} 2 x+1 \text { se } x<1 \\ -x+4 \text { se } x \geqslant 1 \end{array}\right. $$
não é derivável em \(p=1\). Esboce o gráfico de \(g\).
15. Seja \(g(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 \text { se } x<1 \\ 2 x+1 \text { se } x \geqslant 1\end{array}\right.\)
a) Mostre que \(g\) é derivável em \(p=1\) e calcule \(g^{\prime}(1)\).
b) Esboce o gráfico de \(g\).
16. Seja \(f(x)=\left\{\begin{array}{lr}2 & \text { se } x \geqslant 0 \\ x^{2}+2 & \text { se } x<0\end{array}\right.\)
a) Esboce o gráfico de \(f\).
b) \(f\) é derivável em \(p=0\) ? Em caso afirmativo, calcule \(f^{\prime}(0)\).
17. Seja \(g(x)=\left\{\begin{array}{r}x+1 \text { se } x<1 \\ -x+3 \text { se } x \geq 1\end{array}\right.\)
a) Esboce o gráfico de \(g\).
b) \(g\) é derivável em \(p=1\) ? Por quê?
18. Construa uma função \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) que seja contínua em \(\mathbb{R}\) e que seja derivável em todos os pontos, exceto em \(-1,0\) e 1 .
19. Construa uma função \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) que seja contínua em \(\mathbb{R}\) e derivável em todos os pontos, exceto nos números inteiros.
Exercícios 7.3
1. Seja \(f(x)=x^{5}\). Calcule
a) \(f^{\prime}(x)\)
b) \(f^{\prime}(0)\)
c) \(f^{\prime}(2)\)
2. Calcule \(g^{\prime}(x)\) sendo \(g\) dada por
a) \(g(x)=x^{6}\)
b) \(g(x)=x^{100}\)
c) \(g(x)=\frac{1}{x}\)
d) \(g(x)=x^{2}\)
e) \(g(x)=\frac{1}{x^{3}}\)
f) \(g(x)=\frac{1}{x^{7}}\)
g) \(g(x)=x\)
h) \(g(x)=x^{-3}\)
3. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de \(f(x)=\frac{1}{x}\) no ponto de abscissa 2. Esboce os gráficos de \(f\) e da reta tangente.
4. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de \(f(x)=\frac{1}{x^{2}}\) no ponto de abscissa 1. Esboce os gráficos de \(f\) e da reta tangente.
5. Seja \(f(x)=\sqrt[5]{x}\). Calcule.
a) \(f^{\prime}(x)\)
b) \(f^{\prime}(1)\)
c) \(f(-32)\)
6. Calcule \(g^{\prime}(x)\), sendo \(g\) dada por
a) \(g(x)=\sqrt[4]{x}\)
b) \(g(x)=\sqrt[6]{x}\)
c) \(g(x)=\sqrt[8]{x}\)
d) \(g(x)=\sqrt[9]{x}\)
7. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) no ponto de abscissa 1. Esboce os gráficos de \(f\) e da reta tangente.
8. Seja \(r\) a reta tangente ao gráfico de \(f(x)=\frac{1}{x}\) no ponto de abscissa \(p\). Verifique que \(r\) intercepta o eixo \(x\) no ponto de abscissa \(2 p\).
9. Determine a reta que é tangente ao gráfico de \(f(x)=x^{2}\) e paralela à reta \(y=\) \(4 x+2\).
Exercícios 7.4
1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de \(f(x)=e^{x}\) no ponto de abscissa \(0 .\)
2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de \(f(x)=\ln x\) no ponto de abscissa 1. Esboce os gráficos de \(f\) e da reta tangente.
3. Seja \(f(x)=a^{x}\), em que \(a>0\) e \(a \neq 1\) é um real dado. Mostre que \(f^{\prime}(x)=a^{x} \ln\) \(a .\)
4. Calcule \(f^{\prime}(x)\)
a) \(f(x)=2^{x}\)
b) \(f(x)=5^{x}\)
c) \(f(x)=\pi^{x}\)
d) \(f(x)=e^{x}\)
5. Seja \(g(x)=\log _{a} x\), em que \(a>0\) e \(a \neq 1\) é constante. Mostre que \(g^{\prime}(x)=\frac{1}{x \ln a} .\)
6. Calcule \(g^{\prime}(x)\)
a) \(g(x)=\log _{3} x\)
b) \(g(x)=\log _{5} x\)
c) \(g(x)=\log _{\pi} x\)
d) \(g(x)=\ln x\)
Exercícios 7.5
1. Seja \(f(x)=\operatorname{sen} x\). Calcule.
a) \(f^{\prime}(x)\)
b) \(f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de \(f(x)=\operatorname{sen} x\) no ponto de abscissa 0 .
3. Seja \(f(x)=\cos x\). Calcule.
a) \(f^{\prime}(x)\)
b) \(f^{\prime}(0)\)
c) \(f^{\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)\)
d) \(f^{\prime}\left(-\frac{\pi}{4}\right)\)
4. Calcule \(f^{\prime}(x)\) sendo
a) \(f(x)=\operatorname{tg} x\)
b) \(f(x)=\sec x\)
5. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de \(f(x)=\operatorname{tg} x\) no ponto de abscissa 0 .
6. Seja \(f(x)=\operatorname{cotg} x\). Calcule.
a) \(f^{\prime}(x)\)
b) \(f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
7. Seja \(g(x)=\operatorname{cosec} x\). Calcule.
a) \(g^{\prime}(x)\)
b) \(g^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
Exercícios 7.6
1. Seja (f(x)= \begin{cases}x+1 & \text { se } x<2 \ 1 & \text { se } x \geqslant 2\end{cases})
a) (f) é contínua em 2? Por quê?
b) f é derivável em 2? Por quê?
2. Seja (f(x)=\left{\begin{array}{c}x^{2} \text { se } x \leqslant 0 \ -x^{2} \text { se } x>0\end{array}\right.)
a) (f) é derivável em 0 ? Justifique.
b) (f) é contínua em 0 ? Justifique.
3. Seja (f(x)=\left{\begin{array}{l}-x+3 \text { se } x<3 \ x-3 \text { se } x \geqslant 3\end{array}\right.).
a) f é derivável em 3? Justifique.
b) (f) é contínua em 3? Justifique.
Exercícios 7.7
1. Calcule f'(x).
a) \(f(x)=3 x^{2}+5\)
b) \(f(x)=x^{3}+x^{2}+1\)
c) \(f(x)=3 x^{3}-2 x^{2}+4\)
d) \(f(x)=3 x+\sqrt{x}\)
e) \(f(x)=5+3 x^{-2}\)
f) \(f(x)=2 \sqrt[3]{x}\)
g) \(f(x)=3 x+\frac{1}{x}\)
h) \(f(x)=\frac{4}{x}+\frac{5}{x^{2}}\)
i) \(f(x)=\frac{2}{3} x^{3}+\frac{1}{4} x^{2}\)
j) \(f(x)=\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}\)
l) \(f(x)=2 x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\)
m) \(f(x)=6 x^{3}+\sqrt[3]{x}\)
n) \(f(x)=5 x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+k\), em que \(b, c\) e \(k\) são constantes.
2. Seja \(g(x)=x^{3}+\frac{1}{x}\). Determine a equação da reta tangente ao gráfico de \(g\) no ponto \((1, g(1))\).
3. Seja \(f(x)=x^{2}+\frac{1}{x}\).
a) Determine o ponto do gráfico de \(f\) em que a reta tangente, neste ponto, seja paralela ao eixo \(x\).
b) Esboce o gráfico de \(f\).
4. Seja \(f(x)=x^{3}+3 x^{2}+1\)
a) Estude o sinal de \(f^{\prime}(x)\).
b) Calcule \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)\) e \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)\).
c) Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de \(f\).
5. Mesmo exercício que o anterior, considerando a função \(f(x)=x^{3}+x^{2}-5 x\).
6. Seja \(f(x)=x^{3}+3 x\).
a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abscissa 0 .
b) Estude o sinal de \(f^{\prime}(x)\).
c) Esboce o gráfico de \(f\).
7. Calcule \(F^{\prime}(x)\) em que \(f(x)\) é igual a
a) \(\frac{x}{x^{2}+1}\)
b) \(\frac{x^{2}-1}{x+1}\)
c) \(\frac{3 x^{2}+3}{5 x-3}\)
d) \(\frac{\sqrt{x}}{x+1}\)
e) \(5 x+\frac{x}{x-1}\)
f) \(\sqrt{x}+\frac{3}{x^{3}+2}\)
g) \(\frac{\sqrt[3]{x}+x}{\sqrt{x}}\)
h) \(\frac{x+\sqrt[4]{x}}{x^{2}+3}\)
8. Seja \(g(x)=\frac{x}{x^{2}+1}\).
a) Determine os pontos do gráfico de \(g\) em que as retas tangentes, nestes pontos, sejam paralelas ao eixo \(x\).
b) Estude o sinal de \(g^{\prime}(x)\).
c) Calcule \(\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)\) e \(\lim _{x \rightarrow-\infty} g(x)\).
d) Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de \(g\).
9. Calcule \(f^{\prime}(x)\) em que \(f(x)\) é igual a
a) \(3 x^{2}+5 \cos x\)
b) \(\frac{\cos x}{x^{2}+1}\)
c) \(x \operatorname{sen} x\)
d) \(x^{2} \operatorname{tg} x\)
e) \(\frac{x+1}{\operatorname{tg} x}\)
f) \(\frac{3}{\operatorname{sen} x+\cos x}\)
g) \(\frac{\sec x}{3 x+2}\)
h) \(\cos x+\left(x^{2}+1\right) \operatorname{sen} x\)
i) \(\sqrt{x} \sec x\)
j) \(3 \cos x+5 \sec x\)
l) \(x \operatorname{cotg} x\)
m) \(4 \sec x+\operatorname{cotg} x\)
n) \(x^{2}+3 x \operatorname{tg} x\)
o) \(\frac{x^{2}+1}{\sec x}\)
p) \(\frac{x+1}{x \operatorname{sen} x}\)
q) \(\frac{x}{\operatorname{cosec} x}\)
r) \(\left(x^{3}+\sqrt{x}\right) \operatorname{cosec} x\)
s) \(\frac{x+\operatorname{sen} x}{x-\cos x}\)
10. Seja \(f(x)=x^{2}\) sen \(x+\cos x\). Calcule:
a) \(f^{\prime}(x)\)
b) \(f^{\prime}(0)\)
c) \(f^{\prime}(3 a)\)
d) \(f^{\prime}\left(x^{2}\right)\)
11. Seja \(f(x)=\operatorname{sen} x+\cos x, 0 \leq x \leq 2 \pi\).
a) Estude o sinal de \(f^{\prime}(x)\).
b) Faça um esboço do gráfico de \(f\).
12. Calcule \(f^{\prime}(x)\).
a) \(f(x)=x^{2} e^{x}\)
b) \(f(x)=3 x+5 \ln x\)
c) \(f(x)=e^{x} \cos x\)
d) \(f(x)=\frac{1+e^{x}}{1-e^{x}}\)
e) \(f(x)=x^{2} \ln x+2 e^{x}\)
f) \(f(x)=\frac{x+1}{x \ln x}\)
g) \(f(x)=4+5 x^{2} \ln x\)
h) \(f(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}+1}\)
i) \(f(x)=\frac{\ln x}{x}\)
j) \(f(x)=\frac{e^{x}}{x+1}\)
13. Sejam \(f, g\) e \(h\) funções deriváveis. Verifique que \([f(x) g(x) h(x)]^{\prime}=f^{\prime}(x) g(x) h(x)+f(x) g^{\prime}(x) h(x)+f(x) g(x) h^{\prime}(x)\).
14. Calcule \(F^{\prime}(x)\) sendo \(f(x)\) igual a
a) \(\left.x e^{x} \cos x b\right)\)
b) \(x_{2}(\cos x)(1+\ln x)\)
c) \(e^{x} \operatorname{sen} x \cos x\)
d) \((1+\sqrt{x}) e^{x} \operatorname{tg} x\)
Exercícios 7.8
1. Determine \(f^{\prime}, f^{\prime}\) e \(f^{\prime \prime}\).
a) \(f(x)=4 x^{4}+2 x\)
b) \(f(x)=\frac{1}{x}\)
c) \(f(x)=5 x^{2}-\frac{1}{x^{3}}\)
d) \(f(x)=3 x^{3}-6 x+1\)
e) \(f(x)=x|x|\)
\(f(x)=\left{\begin{array}{l}x^{2}+3 x \text { se } x \leqslant 1 \ 5 x-1 \text { se } x>1\end{array}\right.\)
2. Esboce os gráficos de \(f, f^{\prime}\) e \(f^{\prime}\).
a) \(f(x)=x^{2}|x|\)
b) \(f(x)= \begin{cases}x^{2}+3 x & \text { se } x \leqslant 1 \ 5 x-1 & \text { se } x>1\end{cases}\)
3. Determine a derivada de ordem (n).
a) \(f(x)=e^{x}\)
b) \(f(x)=\operatorname{sen} x\)
c) \(f(x)=\cos x\)
d) \(f(x)=\ln x\)
Exercícios 7.9
1. Calcule a derivada.
a) \(y=5 x^{3}+6 x-1\)
b) \(s=\sqrt[5]{t}+\frac{3}{t}\)
c) \(x=\frac{t}{t+1}\)
d) \(y=t \cos t\)
e) \(y=\frac{u+1}{\ln u}\)
f) \(x=t^{3} e^{t}\)
g) \(s=e^{t} \operatorname{tg} t\)
h) \(y=\frac{x^{3}+1}{\operatorname{sen} x}\)
i) \(y=\sqrt[3]{u} \sec u\)
j) \(x=\frac{3}{t}+\frac{2}{t^{2}}\)
l) \(x=e^{t} \cos t\)
m) \(u=5 v^{2}+\frac{3}{v^{4}}\)
n) \(V=\frac{4}{3} \pi r^{3}\)
o) \(E=\frac{1}{2} v^{2}\)
p) \(E=\frac{1}{2} m v^{2}, m\) constante
q) \(U=\frac{a}{x^{12}}-\frac{b}{x^{6}}, a \mathrm{e} b\) constantes
2. Seja \(y=\frac{x^{3}}{x+\sqrt{x}}\). Calcule.
a) \(\frac{d y}{d x}\)
b) \(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=1}\)
3. Seja \(y=t^{2} x\), em que \(x=x\) (t) é uma função derivável. Calcule \(\left.\frac{d y}{d t}\right|_{t=1}\) supondo \(\left.\frac{d x}{d t}\right|_{t=1}=2\) e \(x=3\) para \(t=1\) (isto é, \(x(1)=3\) ).
4. Considere a função \(y=x t^{3}\), na qual \(x=x(t)\) é uma função derivável. Calcule \(\left.\frac{d y}{d t}\right|_{t=2}\) sabendo que \(\left.\frac{d x}{d t}\right|_{t=2}=3\) e que \(x(2)=1\) (isto é, \(x=1\) para \(t=2\) ).
5. Considere a função \(y=\frac{t}{x+t}\), na qual \(t=t(x)\) é uma função derivável. Calcule \(\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=1}\) sabendo que \(\left.\frac{d t}{d x}\right|_{x=1}=4\) e que \(t=2\) para \(x=1\). (Observe que \(t\) está sendo olhado como função de \(x\).)
6. Seja \(y=\frac{1}{x^{2}}\). Verifique que \(x \frac{d y}{d x}+2 y=0\).
7. Seja \(y=\frac{-2}{x^{2}+k}, k\) constante. Verifique que \(\frac{d y}{d x}-x y^{2}=0\).
8. Calcule a derivada segunda.
a) \(y=x^{3}+2 x-3\)
b) \(x=t \operatorname{sen} t\)
c) \(y=x^{10}+\frac{1}{x^{3}}\)
d) \(y=t \ln t\)
e) \(x=e^{t} \cos t\)
f) \(y=\frac{e^{x}}{x}\)
9. Seja \(y=x^{2}-3 x\). Verifique que \(x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-\frac{d y}{d x}=3\).
10. Seja \(y=\frac{1}{x}\). Verifique que \(x^{2} \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=6 \frac{d y}{d x}\).
11. Seja \(x=\cos t\). Verifique que \(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+x=0\).
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