Os números naturais
A abordagem das propriedades dos números naturais será axiomática. Ou seja, iremos usar uma lista de propriedades básicas dos números naturais e das duas operações, para obter as demais propriedades.
No final do século 19 um famoso matemático italiano Giusepe de Peano definiu quatro axiomas básicos. Com eles conseguimos definir a adição e a multiplicação nos naturais e também deduzir diversas propriedades que assumiremos aqui como axiomas.
O conjunto dos número naturais
\[ \mathbb{N} = \left\{0, 1, 2, 3, …\right\}\]
Conjunto dos números naturais sem o zero
\[ \mathbb{N}^{*} = \left\{1, 2, 3, …\right\}\]
Adição e Multiplicação
A adição e a multiplicação são bem definidas no conjunto dos números naturais, ou seja, sempre que realizar essas operações terá como resultado um número também natural:
\[\forall a, b, a^{‘}, b^{‘} \in \mathbb{N}, \; a = a^{‘}\; e \; b = b^{‘}\]
\[\Rightarrow a + b = a^{‘} + b^{‘}\; e \; a \cdot b = a^{‘} \cdot b^{‘}\].
Essa propriedade nos permite somar o mesmo número a ambos os membros de uma igualdade sem alterar o resultado ou multiplicar ambos os membros por um mesmo número+.
A adição e a multiplicação são comutativas, ou seja, você pode mudar os termos de lugar e ainda assim terá o mesmo resultado quando efetuar uma dessas operações. \( \forall a, b \in \mathbb{N}\):
\[a + b = b + a \; e\; a \cdot b = b \cdot a \].
A adição e a multiplicação são associativas, ou seja, sempre é possível associar parcelas de uma adição ou fatores de uma multiplicação que isso não irá alterar o resultado final. \(\forall a, b, c \in \mathbb{N}\):
\[\left(a + b\right) + c = a + \left(b + c\right)\]
\[\left(a \cdot b\right) \cdot c = a \cdot \left(b \cdot c \right) \].
A adição e a multiplicação possuem elementos neutros. \( \forall a \in \mathbb{N}\):
\[a + 0 = a \; e \; a \cdot 1 = a\]
A multiplicação é distributiva em relação à adição. \(\forall a, b, c \in \mathbb{N}\)
\[a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\].
Admitiremos que o conjunto dos números naturais possuem as propriedades a seguir:
Integridade
Dados a, b \(\mathbb{N}^{*}\), temos que \(a \cdot b \in \mathbb{N}^{*}\).
Equivalentemente, pela contrapositiva:
\[ \forall a, b, \in \mathbb{N}, \; a \cdot b = 0 \Rightarrow a = 0 ou b = 0\]
Tricotomia
Dados a, b \(in \mathbb{N}\), apenas uma das seguintes afirmações é válida:
- a = b;
- \(\exists c \in \mathbb{N}^{*}, \; b = a + c\)
- \(\exists c \in \mathbb{N}^{*}, \; a = b + c\)
Diremos que a é menor do que b toda vez que a afirmação \(\exists c \in \mathbb{N}^{*}, \; b = a + c\) for verificada. Assim como b menor do que a quando a afirmação \(\exists c \in \mathbb{N}^{*}, \; a = b + c\) for verificada. Simplificando a tricotomia diz que dados a, b \(in \mathbb{N}\), apenas uma das seguintes afirmações é válida:
i) a = b
ii) a < b
iii) a > b
Observe que decorrente das definições 0 < a, para todo a pertencente aos \(\mathbb{N}^{*}\). De fato para todo \( a \in \mathbb{N}^{*}\), temos que 0 + a = a o que implica 0 < a.
Também podemos observar que se a + b = 0, então a = b = 0. De fato, se a \( \neq\) 0 teríamos b < 0, um absurdo, logo a = 0. Analogamente, mostra-se que b = 0. Portanto, se a \(\in \mathbb{N}^{*}\) ou b \(\in \mathbb{N}^{*}\), então a + b \( \in \mathbb{N}^{*}\).
Prove que a0 = 0 para todo \( a \in \mathbb{N}\).
Demonstração: Temos que
\[ a\cdot 0 = a(0 + 0) = a \cdot 0 + a\cdot 0 \].
Se \(a \cdot 0 \neq 0\) então \( a cdot 0 \in \mathbb{N}^{*}\) e, seguiria da igualdade acima, que \(a \cdot 0 > a \cdot 0, o que é absurdo. Logo a0 = 0.
Referências:
HEFEZ, Abramo. Elementos de aritmética. São Paulo: Sociedade brasileira de matemática, 2003.
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