Cota superior e cota inferior
Nota: Sempre que nos referirmos a intervalos (a, b), [a, b], (a, b] ou [a, b), a e b serão números finitos, com a < b.
Cota superior
Dizemos que um conjunto \(C\) é limitado à direita ou limitado superiormente se existe um número \(k\) tal que \(c \leq k\) para todo \(x \in C\). Em outras palavras tem-se que \(C \in (-\infty, b]\). Cada k com essa propriedade chama-se cota superior de \(C\).
Cota inferior
Da mesma forma dizemos que \(C\) é limitado inferiormente se existe um número \(j\) tal que \(j \leq c\) para todo \(x \in C\). Ou seja, \(C \in [j, +\infty)\). Cada \(j\) com essa propriedade em \(C\) é chamado de cota inferior de X.
Os números \(K\) e \(k\) são chamados de cotas do conjunto \(C\) cota superior e cota inferior respectivamente.
Exemplos:
Exemplo 1
Como exemplo temos o conjunto dos números naturais que é limitado inferiormente mas não superiormente.
Exemplo 2
O conjunto dos números racionais menores do que 8 é limitado superiormente, mas não inferiormente.
Exemplo 3
O conjunto dos números reais x tais que \(x^{2} \leq 10\) é limitado tanto inferiormente quanto superiormente. Tal conjunto é o mesmo que o intervalo fechado \([-\sqrt{10}, \sqrt{10}]\).
Conjunto limitado
Um conjunto como o do exemplo 3 é chamado de conjunto limitado, por que é limitado tanto na esquerda quanto na direita. Então dizemos que um conjunto X qualquer é limitado quando é limitado superior e inferiormente, isto é, quando existem \(k, \; j \in K\) tais que \(X \in [j, k]\).
Supremo
Temos duas definições para o supremo de um conjunto.
Primeira definição: Sendo F um corpo ordenado e \(F \subset \mathbb{R}\) não vazio. O supremo de S, se existir, é um número \(b_{0} \in F\) tal que:
- \(b_{0}\) é uma cota superior de S, e;
- se \(b\) for qualquer outra cota superior de S, então \(b_{0} \leq b\).
O item (1) afirma que S é cota superior de C e o item (2) afirma que não há outra cota menor do que essa.
Segunda definição: Seja \(S \subset \mathbb{R}\). Então \(sup(S) = \alpha\) se, e somente se:
- \(\alpha\) for uma cota superior de S, e;
- dado qualquer número \(\varepsilon > 0 \; \alpha\; – \;\varepsilon\) não é uma cota superior de S.
O item (1) afirma que \(\alpha\) é uma cota superior de \(S\) e que dado qualquer \(\varepsilon > 0\), não importa o quão pequeno seja \(\varepsilon > 0 \; \alpha\; – \;\varepsilon\) não será uma cota superior de \(S\).
Quando existe o supremo de S é denotado como \(sup(S)\).
Ínfimo
Chama-se ínfimo de um conjunto C à maior de suas cotas inferiores; ou seja, o ínfimo de um conjunto tem que satisfazer a duas condições;
i) \(s \leq c, \; \forall \; c \in C\)
ii) dado qualquer número \(\varepsilon> 0\), existe um elemento \(c \in C\) tal que \(c < s + \varepsilon\).
Demonstração da primeira definição de supremo e ínfimo
Seja \(A \subset \mathbb{R}\) não vazio. Se o supremo de A ou ínfimo de A existe, então eles são únicos.
Considerando \(s_{1}\) e \(s_{2}\) supremos de A. Basta provarmos que \(s_{1} = s_{2}\).
Por definição \(s_{1}\) e \(s_{2}\) são cotas superiores de A.
Devemos ter \(s_{1} \leq s_{2} \leq s_{1}\). Sendo assim \(s_{2}\) não pode ser maior e igual a \(s_{1}\) ao mesmo tempo que é menor ou igual a \(s_{2}\). Então a única possibilidade é que:
\(s_{1} = s_{2} = s_{1}\)
Para o ínfimo de um conjunto fazemos a mesma coisa.
Considerando \(m_{1}\) e \(m_{2}\) ínfimo de A. Basta provarmos que \(m_{1} = m_{2}\).
Por definição \(s_{1}\) e \(s_{2}\) são cotas inferiores de A.
Devemos ter \(m_{1} \geq m_{2} \geq m_{1}\). Sendo assim \(m_{2}\) não pode ser maior e igual a \(m_{1}\) ao mesmo tempo que é menor ou igual a \(m_{2}\). Então a única possibilidade é que:
\(s_{1} = s_{2} = s_{1}\)
Demonstração da segunda definição de supremo e ínfimo
Demonstração do supremo
Seja \(sup(S) = \alpha\), com \(\alpha\) sendo uma cota superior de \(S\) satisfazemos a primeira condição.
Seja \(\varepsilon > 0\), então \(\alpha – \varepsilon < \alpha\), o que implica imediatamente que \(\alpha – \varepsilon\) não é uma cota superior de \(S\), pois pela definição de supremo qualquer outra cota superior do conjunto deve ser maior ou igual ao supremo.
Sendo \(\alpha \in \mathbb{R}\) satisfazendo (1) e (2) devemos mostrar que \(\alpha\) satisfaz a primeira definição de supremo.
Sendo \(\alpha\) uma cota superior de S então a condição (1) é satisfeita. Agora precisamos mostrar que qualquer outra cota superior de S é maior ou igual a \(\alpha\).
Seja \(\beta\) uma cota superior de \(S\). Supondo por contradição que \(\beta < \alpha\), pois estamos querendo mostrar que \(\beta \geq \alpha\). Subtraindo \(\beta\) de ambos os lados da igualdade temos que \(\alpha \;-\; beta > 0\) e sabendo que se subtrairmos qualquer número positivo de \(\alpha\) não será uma cota superior de S. Então usamos \((\alpha\; -\; \beta) = \varepsilon\). Sendo assim: \(\alpha \;- \;(\alpha\; -\; \beta) = \beta\) não é uma cota superior de S e essa é a nossa contradição pois \(\beta\) foi definido como cota superior de S.
E assim \(sup(S) = \alpha\) que satisfaz as condições (1) e (2).
Demonstração do ínfimo
Seja \(inf(S) = \beta\). \(\beta\) satisfaz a condição (1) pela definição de ínfimo. Devemos mostrar que se adicionarmos qualquer número positivo \(\varepsilon\) a \(\beta\) não obtemos uma conta inferior de S.
Seja \(\varepsilon > 0\). Então \(\beta + \varepsilon > \beta\) e então \(\beta + \varepsilon\) não é uma cota inferior de S.
E assim \(sup(S) = \beta\) que satisfaz as condições (1) e (2).
Agora vamos provar que se \(\beta\) satisfaz as duas condições então é ínfimo do conjunto pela primeira definição.
Seja \(\beta\) um número real que satisfaz as condições (1) e (2). Seja \(\alpha\) uma cota inferior de \(S\). Supondo por contradição que \(\alpha > \beta\) então \(\alpha – \beta > 0\) e assim, \(\beta + (\alpha – \beta) = \alpha\) não é uma cota inferior. Uma contradição pois \(\alpha\) foi definido como cota inferior de \(S\) mostrando que \(\alpha\) não pode ser maior do que \(\beta\).
Assim, qualquer cota inferior \(\alpha\) de \(S\) dever ser menor ou igual a \(\beta\) assim \(\beta = inf(S)\).
O elemento máximo de um conjunto é o supremo
Seja \(A \subset \mathbb{R}\) e \(m \in A\) o elemento máximo de A. Provar que \(m = sup A\).
Primeiro devemos mostrar que \(m\) é cota superior do conjunto \(A\) para isso basta fazermos:
\(m \geq a, \; \forall a \in A\)
pela definição de máximo.
Supondo por contradição que exista outro elemento \(m’ < m\), \(m’ \in \mathbb{R}\) tal que \(m’ \geq a, \; \forall \; a \in A\).
Porem, \(m\) é um elemento de \(A\) , e \(m > m’\) e portando \(m’ \ngeqslant a, \; \forall a \in A\) o que é uma contradição. E assim fica mostrado que não pode haver cota inferior menor do que \(m\).
Assim, \(m = sup A\).
O elemento mínimo de um conjunto é o ínfimo
Seja \(A \subset \mathbb{R}\) e \(m \in A\) o elemento mínimo de A. Provar que \(m = inf A\).
Para provar que \(m\) é o ínfimo do conjunto precisamos que \(m\) seja uma cota inferior de \(A\) e que não existe nenhuma outra cota inferior menor do que \(m\).
Como \(m\) é o mínimo de A, sabemos que \(m \in A\) e \(m \leq a,\; \forall a \in A\). Então, m é cota inferior de A.
Supondo por contradição que exista \(x \in \mathbb{R}\), tal que \(x \leq a,\; \forall a \in A\) e \(x > m\). Como \(m \in A\) e \(x \leq a, \forall a \in A\) temos que \(x \leq m\) e também que \(x > m\) o que é uma contradição.
Então, \(m = min A\) é a maior das cotas inferiores de \(A\), e \(inf\; A\) por definição
Exercícios resolvidos
1. O conjunto dos números naturais possui ínfimo ou supremo?
Solução:
Supremo: o conjunto dos números naturais não possui supremo por que por definição, supremo é a menor das cotas superiores de um conjunto e nos números naturais sempre é possível obter \(n + 1 \in \mathbb{N}\) para qualquer \(n \in \mathbb{N}\).
Ínfimo: o ínfimo dos números naturais é 1 pois 1 é a maior das cotas inferiores no conjunto dos números naturais.
2. O conjunto dos números reais possui ínfimo ou supremo?
Solução:
O conjunto dos números naturais não possui cota superior ou cota inferior, logo não é possível haver supremo ou ínfimo.
3. O conjunto \(\left\{\frac{1}{n}\; |\; n \in \mathbb{N}\right\} = \left\{\frac{1}{1},\; \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \;…\right\}\) possui ínfimo ou supremo?
Solução:
Supremo: Podemos notar que o maior número na sequência é 1/1 que é 1 então 1 é a menor das cotas superiores, logo é o supremo do conjunto.
Ínfimo: os elementos do conjunto ficam cada vez menores mas nunca chegam a ser negativos, ficam cada vez mais próximos de zero. Então temos que \(0 \leq \frac{1}{n}\), \(\forall n \in \mathbb{N}\). Portanto o ínfimo do conjunto é 0.
Note que o supremo esta no conjunto mas o ínfimo não.
4. O conjunto \(\left\{x \in \mathbb{Q}\; | \; x^{2} < 2\right\}\) possui ínfimo ou supremo?
Este é o conjunto de todos os número racionais cujo quadrado é menor do que 2. Vamos considerar que este conjunto é um subconjunto dos números reais. Assim temos:
\(x^{2} < 2\)
\(|x| < \sqrt{2}\)
\(-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}\)
Dessa forma podemos concluir que o supremo do conjunto é \(\sqrt{2}\) pois é o menor das cotas superiores do conjunto e que \(-\sqrt{2}\) é o maior das cotas inferiores, logo é o ínfimo do conjunto.
Porém considerando que o conjunto é um subconjunto de número racionais ele não teria supremo ou ínfimo. Você sabe dizer porque?
Proposição
Todo conjunto não vazio de números reais, que seja limitado superiormente possui supremo.
Essa propriedade pode ser um axioma ou um teorema, tudo depende de como é introduzido o conjunto dos números reais.
Exemplo:
Se um conjunto possui elemento máximo então esse também é o seu supremo. Mas o supremo não necessariamente é o seu máximo. Como no conjunto abaixo:
\([-3, 9) = \left\{x \in \mathbb{R}: -3 \leq x < 9\right\}\)
que não possui um supremo mas não tem máximo.
O item (2) da definição de supremo no diz que qualquer número à esquerda de S, \(S – \varepsilon\), terá algum elemento c de C à sua direita. Tal elemento c pode ser o próprio S, quando S for o máximo do conjunto.
Was this helpful?
2 / 0