Análise: módulo

Veja as definições de módulo, demonstrações e resolução de exercícios.

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Num corpo ordenado \(K\), definimos como valor absoluto de um elemento \(x\) e denotamos por \(|x|\) o número:

\(|x| = \begin{cases} x & \text{ se } x \geq 0\\ -x & \text{ se } < 0\end{cases}\)

Num corpo ordenado, dado um elemento x, ou x e -x são ambos zero, ou um é positivo e outro é negativo. Aquele entre x e -x que não for negativo, será chamado \(|x|\). Sendo assim, \(|x|\) é o maior dos elementos x e -x. Este fato poderia ter sido usado como definição:

\(|x| = max\left\{x, -x\right\}\)

Assim, temos que \(|x| \geq x\) e \(|x| \geq -x\), mas observe que \(|x| \geq -x\) pode ser escrito como \(-|x| \leq x\) dessa forma:

\(|x| \leq x \leq |x| \),

para todo \(x \in K\).

Teorema 1

Sejam x, a elementos de um corpo ordenado K. As seguintes afirmações são equivalentes;

  1. \(-a \leq x \leq a\);
  2. \(x \leq a\; e\; -x \leq a\);
  3. \(|x| \leq a\).

Demonstração.

Corolário

Dados \(a\), \(x\), \(b \in K\), tem-se \(|x \; – \; a| \leq b\) se, e somente se, \(a \; – \;b \leq x \leq a + b\).

Pelo teorema já demonstrado acima temos que, \(|x \; – \; a| \leq b\) é equivalente a \(-b \leq x \; – \; a \leq b\) somando a em todos os membros da desigualdade \(a \; – \; b \leq x \leq a + b\).

Todas as afirmações do teorema e do seu corolário são ainda verdadeiras com \(< \) em lugar de \(\leq\). Vamos verificar essa afirmação:

Em geral temos as seguintes equivalências:

\(x \in \left(a\; – \;\varepsilon, a + \varepsilon\right) \Leftrightarrow a \;- \varepsilon < x < a + \varepsilon \Leftrightarrow |x \;-\; a | < \varepsilon\)

Teorema 2

Para elementos arbitrários de um corpo ordenado K, valem as relações:

  1. \(|x + y| \leq |x| + |y|\);
  2. \(|x \cdot y| = |x| \cdot |y|\);
  3. \(|x|\; – \; |y| \leq ||x|\; -\; |y|| \leq |x \;-\; y|;\);
  4. \(|x\; -\; z| \leq |x \;-\; y| + |y\; – \; z|\).

Demonstração:

Teorema 3

Num corpo ordenado K, as seguintes afirmações são equivalentes:

  1. \(\mathbb{N} \subset K\) é ilimitado superiormente;
  2. dados \(a\), \(b \in K\), com a > 0, existe \(n \in \mathbb{N}\) tal que \(n \cdot a > b\);
  3. dado qualquer \(a > 0\) em \(K\), existe \(n \in \mathbb{N}\) tal que \(0 < \frac{1}{n} < a\).

Demonstração:

Um corpo ordenado K chama-se arquimediano quando vale qualquer uma das três condições equivalentes citadas no teorema.

Exercício 1

Prove que para todo \(a,\; b \in \mathbb{R}\), \(|a| \cdot |b| = |a \dot b|\).

Demonstração: Por definição, temos que:

\(|a \cdot b| = \begin{cases} ab & \text{ se } ab \geq 0\\ -ab & \text{ se } ab < 0 \end{cases}\)

Sendo assim podemos dividir em casos:

Primeiro caso: \(a \geq 0,\; b \geq 0\).

Como a e b são números positivos temos que:

\(|a| \cdot |b| = a \cdot b = |a\cdot b|\).

Segundo caso: \(a < 0, \; b < 0\).

Como a e b são ambos negativos temos que:

\(|a| \cdot |b| = (-a) (-b) = a \cdot b = |a \cdot b|\).

Terceiro caso: \(a < 0, \; b \geq 0\).

\(|a| \cdot |b| = (-a)(b) = -ab\)

Como a é negativo e b é positivo ab < 0 e pela definição de módulo -ab é igual a |ab| se ab < 0. Sendo assim:

\(|a| \cdot |b| = (-a)(b) = -ab = |a \cdot b|\).

Quarto caso: \(a < 0,\; b \geq 0\).

\(|a| \cdot |b| = (a)(-b) = -ab\)

Como a é positivo e b é negativo ab < 0 e pela definição de módulo -ab é igual a |ab| se ab < 0. Sendo assim:

\(|a| \cdot |b| = (a)(-b) = -ab = |a \cdot b|\).

Exercício 2

Prove que para todo \(a, \; b \in \mathbb{R}\), \(|a| \geq b \Leftrightarrow -b \geq a \geq b\).

\((\Rightarrow)\)

Assumindo que \(|a| \geq b\), multiplicando por (-1) de ambos os lados obtemos que \(-|a| \geq -b\). Observe que é trivial a seguinte relação:

\(-|a| \geq a \geq |a|\)

Sendo assim:

\(-b \geq -|a| \geq a \geq |a| \geq b\)

\((\Leftarrow)\)

Assumindo que \(-b \leq a \leq b\) temos alguns casos.

Primeiro caso: \(a \geq 0\).

Sendo \(a > 0\) temos que \(|a| = a\) e por hipótese temos que \(a \leq b\) portanto \(|a| = a \leq b\).

Segundo caso: \(a < 0\).

Sendo \(a < 0\) temos que \(|a| = -a\) e por hipótese temos que \(a \geq -b\). Observe que \(-b \leq a \) multiplicando ambos os lados por (-1) obtemos \(-a \leq b\)

Portanto, \(|a| = -a \leq b\).

Prove que: dois números reais,\(a\) e \(b\), são iguais se e somente se, para todo \(\varepsilon > 0\), \(|a – b| < \varepsilon\).

\((\Rightarrow)\)

Assumindo que \(a = b\) temos que \(|a – b| = |0| = 0 < \varepsilon, \; \forall \varepsilon > 0\).

\((\Leftarrow)\)

Assumindo que para todo \(\varepsilon > 0, |a – b| < \varepsilon.\) devemos provar que isso é valido somente se \(a = b\).

Supondo por contradição que \(a \neq b\), sendo \(a\) diferente de \(b\) então existe uma distancia entre eles, dessa forma podemos dizer que \(|a\;-\;b| > 0\).

Sendo assim \(|a\;-\;b|\) é um valor valido para \(\varepsilon\).

Se \(\varepsilon = |a\;-\;b| \) então \(|a\;-\;b| < \varepsilon = |a\;-\;b|\) e \( |a\;-\;b| < |a\;-\;b|\) é uma contradição.

Então de fato \(a\) e \(b\) devem ser iguais.

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