O que são séries?
Séries são somas (de números reais) com um número infinito de parcelas.
\(s=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}+\cdots\)
Observe abaixo uma série chamada de série geométrica.
\( 0,111 \ldots=\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\ldots\)
Observe agora essa outra série de números reais conhecida também como “série de Grandi”:
\begin{aligned} & S=1-1+1-1+1-1+\cdots \\ &S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots=0+0+0+\cdots=0 \\
&S=1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots=1+0+0+\cdots=1 \\ &S=1-(1-1+1-1+1-1+\cdots)=1-S \\ &\quad \Rightarrow S=1-S \Rightarrow 2 S=1 \Rightarrow S=1 / 2. \end{aligned}
Viu como pode ser problemático trabalhar com séries infinitas?
Note que: \(S_{1}=1, S_{2}=1-1=0, S_{3}=1, S_{4}=0, \ldots, S_{2 n-1}=1 \text { e } S_{2 n}=0 \text {. }\)
Vimos em sequências que se uma sequência converge então todos as subsequências também convergem. O que não ocorre nesse exemplo.
Portanto, \(S_{n}\) é divergente.
O conceito de soma precisa ser repensado quando trabalhamos com séries infinitas. Originalmente a soma surgiu para ser aplicada a quantidade finitas. Quando aplicamos o conceito de somar a quantidades infinitas, sempre haverá parcelas a somar, o processo de somas infinitas não terminam. E caímos em casos como foi mostrado com a série de Grandi.
Somas parciais ou reduzidas de ordem n
É denotada por \(S_{n}\) a soma dos primeiros \(n\) elementos da sequência \(a_{n}\), que é chamada a soma parcial ou soma reduzida de ordem n associada a essa sequência
$$ S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}=\sum_{j=1}^{n} a_{j} $$
Como saber qual é o valor da soma da série?
\begin{aligned} a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}+\ldots=S &=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n} \\ &=\lim _{n \rightarrow 1} \sum_{j}^{n} a_{j}=\sum_{j=1}^{\infty} a_{j} \end{aligned}
Obs: o limite \(S=\lim S_{n}\) pode não existir, neste caso a série diverge.
Se \( \lim S_{n}=\pm \infty\) também dizemos que a série diverge.
Notação
\(\sum_{j=1}^{\infty} a_{j}=\sum a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}+\cdots\)
Resto de ordem n
Se existe o limite \(S=\lim S_{n}\) temos:
\(S-S_{n}=R_{n}\). Daí, note que:
$$ \begin{gathered} \lim \left(S-S_{n}\right)=\lim R_{n} \\ \lim S-\lim S_{n}=\lim R_{n} \\ S-S=\lim R_{n} \\ \lim R_{n}=0. \end{gathered} $$
Teorema:
Se uma série converge, seu termo geral tende a zero.
Seja \(\sum a_{n}\) uma série convergente, cujas reduzidas são dadas por \(S_{n}\).
Como a série é convergente
\(\exists S \in \mathbb{R}: \quad \lim S_{n}=S\).
Agora note que:
\(S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n-1}+a_{n}\)
\(S_{n-1}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}\)
Subtraindo membro a membro obtemos
\(S_{n}-S_{n-1}=a_{n}\)
\(\begin{aligned} \lim a_{n} &=\lim \left(S_{n}-S_{n-1}\right) \\ &=\lim S_{n}-\lim S_{n-1} \ &=S-S=0 . \end{aligned}\)
Conclusão: \(a_{n} \longrightarrow 0 \)
Observação: se o termo geral não tende para zero a série diverge.
\(\lim a_{n} \neq 0 \Rightarrow \sum a_{n}\) diverge.
Exemplo
A contra positiva não é válida
Note que em \(1-1+1-1+1-1+\cdots\) o termo geral da série é \(a_{n}=(-1)^{n+1}\), ou seja, \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} = 1-1+1-1+1-1+\cdots\) e então…
\(\lim a_{n}=\lim (-1)^{n+1} \neq 0\).
Se o termo geral tende a zero significa que a série converge?
Não! Pois se trata da reciproca do teorema acima que não é válida. Basta observar a série harmônica:
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots\)
em que o termo geral tende a 0:
\(a_{n}=\frac{1}{n} \longrightarrow 0\),
porem
\(\sum \frac{1}{n} \longrightarrow+\infty\)
O termo geral tender para zero é condição necessária para a série convergir mas não é condição suficiente existem séries cujo termo geral tende a zero mas não são convergentes.
Outro exemplo:
\(\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\)
Note que o termo geral tende a zero pois,
\(a_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \cdot \frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{( \sqrt{n+1}+\sqrt{n} )}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)
Sendo assim,
\(a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \longrightarrow 0\)
Porém,
\(S_{1}=a_{1}=\sqrt{2}-1\)
\(S_{2}=a_{1}+a_{2}=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2} = \sqrt{3} – 1\)
\(S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3} = \sqrt{2} – 1+\sqrt{3} – \sqrt{2} + \sqrt{4} – \sqrt{3}= \sqrt{4} – 1\)
…
\(S_{n} = \sqrt{n + 1} – 1\)
Como vimos
\(S_{n}=\sqrt{n+1}-1 \Rightarrow \lim S_{n}=+\infty \Rightarrow \sum a_{n}\) diverge.
Série geométrica
Dado \(q \in \mathbb{R}_{1}\), temos:
\(1+q+q^{2}+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty} q^{n}\).
Sejam as reduzidas:
\(S_{n}=1+q+q^{2}+\ldots+q^{n-1}+q^{n}\)
Multiplicando por \(q\) de ambos os lados:
\(q \cdot S_{n}=q+q^{2}+q^{3}+\cdots+q^{n}+q^{n+1}\)
Subtraindo membro a membro:
\(S_{n}-q \cdot S_{n}=1 – q^{n+1}\)
\(\Rightarrow (1 – q) \cdot S_{n} = 1 – q^{n+1} \)
\(\Rightarrow S_{n} = \frac{1 – q^{n+1}}{1 – q} = \frac{1}{1-q}-\frac{q^{n+1}}{1-q}\), \(q \neq 1\).
Observação: os casos \(q = \pm 1\) são triviais, pois:
\(q=1 \Rightarrow \sum q^{n}=1+1+1+1+\ldots \rightarrow+\infty\), diverge
\(q=-1 \Rightarrow \sum q^{n}=1-1+1-1+\cdots\), diverge.
Assim vemos que a série geométrica diverge para \(q = \pm 1\).
Note que, se \(q>1\), então \(\lim a_{n}=\lim q^{n} \neq 0\).
E se \(q<-1\), então \(\lim a_{n}=\lim (-1)^{n}|q|^{n} \neq 0\)
Conclusão: a série geométrica diverge para \(q \leq -1\) ou \(q \geq 1\), agora, por outro lado, se \(-1<q<1\), isto é, se \(|q|<1, \lim q^{n+1} \longrightarrow 0\).
Dessa forma,
\begin{aligned} S_{n} &=\frac{1}{1-q}-\frac{q^{n+1}}{1-q} \\ \lim S_{n} &=\lim \frac{1}{1-q}-\lim \frac{q^{n+1}}{1-q} \\ S &=\sum_{n=0}^{\infty} q^{n}=\frac{1}{1-q} \end{aligned}
Série harmónica
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots \rightarrow+\infty\)
A série harmônica diverge:
\(S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\cdots\)
\(S=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{16}\right)+\left(\frac{1}{17}+\cdots+\frac{1}{32}\right)+\cdots \cdot\)
Agora note que:
\(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}>\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{16}>\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{16}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\)
Concluímos que:
\(S>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots \rightarrow+\infty\)
$$ \Rightarrow S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \longrightarrow+\infty $$
Diverge.
Média harmônica
Dados \(a, b > 0\), a média harmônica:
\(\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)
E para \(n\) números temos:
\(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}>0\)
\(\frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}}\)
Qualquer termo \(a_{n}\) da série harmônica é média harmônica dos dois vizinhos:
Exemplos:
a) \(\frac{2}{\frac{1}{1}+\frac{1}{1 / 3}}=\frac{2}{1+3}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
b) \(\frac{2}{\frac{1}{1 / y}+\frac{1}{1 / 6}}=\frac{2}{4+6}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\)
Demonstração:
\(\frac{2}{\frac{1}{\frac{1}{n-1}}+\frac{1}{\frac{1}{n+1}}}=\frac{2}{n-1+n+1}=\frac{2}{2 n}=\frac{1}{n}\).
Quando uma série é convergente?
Se a série possui limite dizemos que é convergente, se não dizemos que é divergente.
Divergência da série harmônica
Vamos provar a divergência da série harmônica de uma maneira mais formal
\(\begin{aligned} S_{2^{n}} &=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\ldots \ &+\left(\frac{1}{2^{n-1}+1}+\frac{1}{2^{n-1}+2}+\ldots+\frac{1}{2^{n}}\right) \ &=1+\frac{1}{2}+\sum_{j=2}^{n}\left(\frac{1}{2^{j-1}+1}+\frac{1}{2^{j-1}+2}+\ldots+\frac{1}{2^{j}}\right) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} & \geq 1 + \frac{1}{2} + \sum_{i=2}^{n}(\underbrace{\left.\frac{1}{2 j}+\frac{1}{2^{j}}+\cdots+\frac{1}{2 i}\right)}{2 i-1} \\ & =1+\frac{1}{2}+\sum{i=2}^{i n} \frac{2^{i-1}}{2^{i}}=1+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{4}{8}+\ldots+\frac{2^{n-1}}{2^{n}} \\ & =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{2} \\ \Rightarrow S_{2 n} \geq 1+\frac{n}{2} \Rightarrow 1+\frac{n}{2} \end{aligned}\)
Critério de Cauchy para séries
\(\sum a_{n}\) convergente \(\Leftrightarrow\) Dado \(\varepsilon > 0 \; \exists n_{0} \in \mathbb{N}\) tal que, \(\forall p \in \mathbb{N}; n>n_{0} \Rightarrow\left|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+p}\right|<\varepsilon\)
Demonstração
A demonstração desse teorema é uma adaptação do teorema de Cauchy para sequências.
\(a_{n}=S_{n}\), então, dado \(\varepsilon>0, \exists n_{0} \in \mathbb{N}\) tal que \(\forall p \in \mathbb{N}\),
\(n>n_{0} \Rightarrow\left|S_{n}-S_{n+p}\right|<\varepsilon\)
o que equivale a
\(n>n_{0} \Rightarrow\left|S_{n+p}-S_{n}\right|<\varepsilon .\)
\begin{aligned} S_{n+p} &=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}+a_{n+1}+\ldots+a_{n+p} \\ S_{n} &=a_{n}+a_{n}+\cdots+a_{n} \end{aligned}
Assim,
\(S_{n+1}-S_{n}=a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+} p\)
Logo,
\(n>n_{0} \Rightarrow\left|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}\right|<\varepsilon .\)
Teorema
Se as séries \(\sum a_{n} e \sum b_{n}\) convergem e \(k\) é um número qualquer, então \(\sum k a_{n}\) e \(\sum\left(a_{n}+b_{n}\right)\) convergem \(e\)
$$ \sum k a_{n}=k \sum a_{n} \quad \text { e } \sum\left(a_{n}+b_{n}\right)=\sum a_{n}+\sum b_{n} . $$
Este teorema é consequência do teorema de operações com limites para sequências.
Como por hipótese \(\sum a_{n}\) converge, então a sua sequencia das reduzidas \(S_{n}\) também convenge: \(S_{n} \longrightarrow S\).
Dessa forma,
\(\sum k a_{n}=\lim \left(k \cdot S_{n}\right)=k \cdot \lim S_{n}=k \cdot S=k \sum a\)
portanto, (\sum k a_{n}\) converge.
Como por hipotese as duas séries convergem, sejam as sequencis de reduzidas \(S_{n}\) e \(T_{n}\), de \(\sum a_{n} e \sum b_{n}\) respectivamente.
$$ S_{n} \rightarrow S=\sum a_{n} ; \quad T_{n} \rightarrow T=\sum b_{n} \text {. } $$
Agora note que:
\begin{aligned} \sum\left(a_{n}+b_{n}\right)=\lim \left(S_{n}+T_{n}\right) &=\lim S_{n}+\lim T_{n} \\ &=S+T . \\ &=\sum a_{n}+\sum b_{n} \end{aligned}
Conclusão:
$$ \sum\left(a_{n}+b_{m}\right)=\sum a_{n}+\sum b_{n} . $$
Observação:
\(\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=S_{n_{0}}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n_{0}+n}\). Pois note que:
\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} &=\lim S_{n}=\lim S_{n_{0}+n}=\lim \left(S_{n_{0}}+a_{n_{0}+1}+\ldots+a_{n_{0}+n}\right) \\ &=\lim S_{n_{0}}+\lim \left(a_{n_{0}+1}+\ldots+a_{n_{0}+n}\right) \\ &=S_{n_{0}}+\sum_{n=1}^{n} a_{n_{0}+n} . \end{aligned}
Séries de termos positivos
Seja \(\sum P_{n}\) tal que \(P_{n} \geqslant 0, \forall n \in \mathbb{N}\).
Daí \(S_{n}=p_{1}+\cdots+p_{n}\) é uma sequência não decrescente.
Ou seja, \(P_{n} \geqslant 0 \Rightarrow S_{n+1} \geqslant S_{n}\). ( \(\Rightarrow S_{n}\) é monótona)
Se os termos forem permutados, temes uma nova série:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} p_{n}^{\prime}=p_{1}^{\prime}+p_{2}^{\prime}+p_{3}^{\prime}+\ldots j \quad S_{n}^{\prime}=p_{1}^{\prime}+p_{2}^{\prime}+\ldots+p_{n}^{\prime}$$.
Para \(m>n\) suficiente grande, teremos:
$$ S_{m} \geq S_{n}^{\prime} \text {. Com a hip. de } \sum p_{n} \longrightarrow S $$, temos: \(S_{n} \leq S_{m} \leq S\).
Portanto, \(S_{n}^{prime}\) é também monótona e limitada, e portanto convergente: \(S_{n}^{\prime} \longrightarrow S^{\prime} \leqslant S .\)
Por outro lado, se \(\sum P_{n}^{\prime}\) fosse a série original, entāo \(\sum p_{n}\) seria obtida de \(\sum p_{n}^{\prime}\) por permutacāo. Dessa forma: \(p / m>n\) suficientemente grande,
$$ S_{n} \leqslant S_{m}^{\prime} \leqslant S^{\prime} \text {, donde } S \leqslant S^{\prime}(* *) $$
Conclusão, de \((*)\) e \((* *)\) temos que \(S=S^{\prime}\).
Observação: Permutação: (P_{n}^{\prime}=P_{f(n)}), onde (f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}), bijeção.
Teorema
Uma série convergente de termos não negativos possui a mesma soma, independentemente da ordem de seus termos.
Teorema (teste da comparação)
Sejam \(\sum a_{n} e \sum b_{n}\) duas séries. de termos não negativos, a primeira dominada pela segunda, isto é, \(a_{n} \leq b_{n}\) para todo n. Nessas condições podemos afirmar:
\(a) \sum b_{n}\) converge \(\Rightarrow \sum a_{n}\) converge e \(\sum a_{n} \leq \sum b_{n}\);
\(b) \sum a_{n}\) diverge \(\Rightarrow \sum b_{n}\) diverge.
Demonstração:
(a) \(S_{n}=a_{1}+\ldots+a_{n} ; \quad T_{n}=b_{1}+\cdots+b_{n} ;\) Como da hipótese \(\sum b_{n}\) então \( T_{n} \longrightarrow T \in \mathbb{R}\) além disso \(a_{n}, b_{n} \geq 0 \Rightarrow S_{n}, T_{n}\) monótona; \(a_{n} \leq b_{n} \Rightarrow S_{n} \leq T_{n} \Rightarrow S_{n} \leqslant T\). Portanto \(S_{n} \rightarrow S \leqslant T\).
(b) Se \( \sum b_{n}\) converge \(\Rightarrow \sum a_{n}\) converge; \(\sum b_{n}\) diverge.
Teorema (teste da razão)
Seja \(\sum a_{n}\) uma série de termos positivos tal que existe o limite \(L\) do quociente \(a_{n+1} / a_{n}\). Então, a série é convergente se \(L<1\) e divergente se \(L>1\), sendo inconclusivo o caso em que \(L=1\).
O teste da integral
Um outro teste de convergência de séries de muita utilidade é o chamado teste da integral, porque baseado na comparação da série com a integral de uma função.
Teorema
Seja \(f(x)\) uma função positiva, decrescente e \(a_{n}=f(n)\). Então $$ f(2)+\ldots+f(n)<\int_{1}^{n} f(x) d x<f(1)+\ldots+f(n-1) . $$ Em consequência, a série \(\sum a_{n}\) converge ou diverge, conforme a integral que aí aparece seja convergente ou divergente, respectivamente, com \(n \rightarrow \infty\).
Convergência absoluta e condicional
Teorema
Toda série absolutamente convergente é convergente. Mais do que isso, é comutativamente convergente, isto é, a somado série dada independe da ordem de seus termos.
Teorema (teste de Leibniz)
Seja \(\left(a_{n}\right)\) uma seqü̂ncia que tende a zero decrescentemente, isto é, \(a_{1} \geq a_{2} \geq \ldots, a_{n} \rightarrow 0\). Então, a série alternada \(\sum(-1)^{n+1} a_{n}\) converge. Além disso, o erro que se comete tomando-se uma reduzida qualquer da série como valor aproximado de sua soma é, em valor absoluto, menor ou igual ao primeiro termo desprezado.
Teorema
Se uma dada série \(\sum a_{n}\) é condicionalmente convergente, seus termos podem ser reordenados de maneira que a série convirja para qualquer número \(S\) que se prescreva.
Corolário
Uma condição necessária e suficiente para que uma série seja comutativamente convergente é que ela seja absolutamente convergente.
Was this helpful?
0 / 0