Velocidade escalar média e instantânea

Velocidade escalar média

O calculo da velocidade média é feito obtendo-se o quociente entre o espaço percorrido e o tempo gasto.

\(v_{m} = \frac{\Delta d}{\Delta t}\)

Onde \(\Delta d\) é variação da distância percorrida e \(\Delta t\) é o intervalo de tempo gasto.

Imagine um automóvel que percorreu uma distância de 300 km em 2 horas. Qual foi a velocidade média desse veiculo?

Basta fazermos:

\(v_{m} = \frac{300 \; km}{2 \; h} = 150 \; km/h\)

Se ele tivesse feito esse mesmo percurso em 3 horas a velocidade média seria de:

\(v_{m} = \frac{300 \; km}{3 \; h} = 100 \; km/h\)

De modo geral imagine um ponto P descrevendo uma trajetória em relação a um determinado referencial. No instante \(t_{1}\) seu espaço é \(s_{1}\) posteriormente num instante \(t_{2}\) o espaço será \(s_{2}\). No intervalo de tempo \(\Delta t = t_{2} – t_{1}\) a variação do espaço do ponto material é \(\Delta s = s_{2} – s_{1}\). A velocidade escalar \(v_{m}\) no intervalo de tempo \(\Delta t\) é expressa pela relação:

\(v_{m} = \frac{\Delta d}{\Delta t} = \frac{s_{2} – s_{1}}{t_{2} – t_{1}}\)

Note que a variação de tempo é sempre positiva mas a variação de espaço pode ser positiva ou negativa. É positiva se \( s_{2} > s_{1}\); negativa se \(s_{2} < s_{1}\) e nula quando o móvel retorna a sua posição inicial \(s_{2} = s_{1}\).

Exercício 1

Um automóvel percorre uma distância de 210 km desenvolvendo, nos primeiros 120 km, uma velocidade média de 80 km/h e, nos 90 km restantes, uma velocidade média de 60 km/h. Qual foi o tempo total da viagem? Qual foi a velocidade média do automóvel no percurso total?

Resolução:

Precisamos saber qual foi o tempo gasto na primeira e na segunda parte do percurso por que temos duas velocidade média.

Na primeira parte do percurso. Para descobrirmos o tempo basta colocar os valores na fórmula da velocidade média e isolar o tempo, \(v_{m} = \frac{d}{t}\) o que nos fornece \(t = \frac{d}{v_{m}}\). Temos:

\(t_{1} = \frac{120}{v_{80}} = 1,5\)

Ou seja, tivemos um total de 1, 5 h.

Na segunda parte do percurso.

\(t_{2} = \frac{90}{v_{60}} = 1,5\)

Ou seja, tivemos um total de 1, 5 h.

O tempo total foi de

\(t = 1, 5\;h + 1, 5\;h = 2\;h\)

A segunda parte do problema é dizer qual foi a velocidade média do automóvel no percurso total.

A distância total foi de 210 km e o tempo para fazer esse percurso foi de 2 h, assim a velocidade média no percurso total é dada por:

\(v_{m} = \frac{210\;km}{2\; h} = 105\; km/h\)

Velocidade escalar instantânea

Calculamos a velocidade instantânea quando a velocidade de um corpo não se mantém constante. Por exemplo um carro, que durante uma viajem, o velocímetro não se mantém constante.

Já vimos que para calcular a velocidade média precisamos do quociente entre a variação de espaço e a variação de tempo, ou seja, \(\frac{\Delta d}{\Delta t}\). Mas como o movimento é variado precisamos diminuir o intervalo de tempo \(\Delta t\), assim quanto menor for o intervalo de tempo mais próximo o nosso resultado estará da velocidade instantânea.

Em um movimento variado, a velocidade instantânea é dada por

\(v = \frac{\Delta d}{\Delta t}\)

sendo \(\Delta t\) o menor possível.

A velocidade escalar instantânea v é o valor limite a que tende a velocidade escalar média \(\frac{\Delta d}{\Delta t}\), quando \(\Delta t\) tende a zero. Representa-se por:

\(v = \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}\)

No caso em que a velocidade escalar média é a mesma em todos os instantes, ela coincide com a velocidade escalar média em qualquer intervalo de tempo.

Determinação gráfica da velocidade instantânea

Só de olhar para o gráfico vemos que o movimento é variado, pois se fosse uniforme o gráfico seria retilíneo. Podemos obter a velocidade instantânea desse do automóvel em um instante qualquer \(t_{1}\). Para isto, devemos traçar a tangente ao gráfico no ponto da curva correspondente àquele instante. Fazemos isso para qualquer ponto no gráfico.

A inclinação da tangente no gráfico \(d \times t\) nos fornece o valor da velocidade instantânea naquele ponto.