Unicidade do limite de uma função
Vamos aprender a demonstrar a unicidade do limite de uma função.
Teorema
Se o limite de uma função \(f(x)\) existe então ele é único.
Se \(\displaystyle \lim_{ x \to a} f(x) = L\) e \(\displaystyle \lim_{ x \to a} f(x) = M\) então L = M.
Demonstração:
Pela definição de limite de uma função temos que \(\displaystyle \lim_{ x \to a} f(x) = L\) se, e somente se, para todo \(\varepsilon > 0\) existir um número correspondente \(\delta > 0\) tal que \(0 < |x \; -\; a| < \delta \Leftarrow |f(x) – L| < \varepsilon\).
Supondo, por contradição, L e M positivos \(L \neq M\) e L < M.
Pela definição formal de limite:
Se \(\displaystyle \lim_{ x \to a} f(x) = L\) então,
\(\forall \; \varepsilon > 0, \; \exists \; \delta_{1} > 0 | 0 < |x\; -\; a| < \delta_{1} \Leftarrow |f(x) – L| < \varepsilon \),
e se \(\displaystyle \lim_{ x \to a} f(x) = M\) então,
\(\forall \; \varepsilon > 0, \; \exists \; \delta_{2} > 0 | 0 < |x\; -\; a| < \delta_{2} \Leftarrow |f(x) – M| < \varepsilon \),
Temos \(\delta_{1}\) e \(\delta_{2}\) por que supostamente são dois limites diferentes.
Observe que \(|f(x) – L| < \varepsilon\) e \(|f(x) – M| < \varepsilon \) podem ser reescritos da seguinte forma, veja:
\(|f(x) – L| < \varepsilon = L – \varepsilon < f(x) < L + \varepsilon\)
\(|f(x) – M| < \varepsilon = M – \varepsilon < f(x) < M + \varepsilon\)
Agora precisamos escolher um \(\delta\) que satisfaça as duas representações, então vamos pegar o mínimo valor entre os dois, ou seja:
\(\delta = min(\delta_{1}, \delta_{2}\)
Agora que temos o \(\delta\) precisamos escolher um \(\varepsilon\) de modo que os limites L e M fiquem garantidos. Temos que M > L então considerando \(\varepsilon = \frac{M\;-\;L}{2}\).
Assim, considerando \(\delta = min(\delta_{1}, \delta_{2}\), \(0 < | x\; -\;a| < \delta\) e com (\varepsilon = \frac{M\;-\;L}{2}\). Temos que:
\(L – \left( \frac{M\;-\;L}{2}\right) < f(x) < L + \left( \frac{M\;-\;L}{2}\right)\)
\(M – \left( \frac{M\;-\;L}{2}\right) < f(x) < M + \left( \frac{M\;-\;L}{2}\right)\)
Desenvolvendo as desigualdades obtemos:
\(\left( \frac{3L\;-\;M}{2}\right) < f(x) < \left( \frac{M + L}{2}\right)\)
\(\left( \frac{M + L}{2}\right) < f(x) < \left( \frac{3M\;-\;L}{2}\right)\)
Perceba que \(f(x)\) é ao mesmo tempo menor e maior que o termo \(\frac{M + L}{2}\) o que é um absurdo. Se supondo \(L \neq M\) não pode acontecer então \(L = M\), ou seja, o limite de uma função, quando existe ele é único.
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