Relações
Neste post você irá aprender
- Qual a importância das relações para o entendimento de funções?
- O que é um par ordenado?
- O que é uma relação binária?
- O que é o conjunto de partida?
- O que é o contradomínio?
- O que é a lei de correspondência?
- Como determinar o domínio e a imagem de uma relação?
É importante que saiba responder essas questões de acordo com o que está no texto abaixo.
Relações
Relações são a base de toda função e funções é um conteúdo essencial em matemática, sendo assim vamos estudar com bastante atenção esse conteúdo para ter um entendimento mais completo sobre o assunto.
Toda relação é um subconjunto de um produto cartesiano. Então não deixe de estudar esse conteúdo.
Par ordenado
Um dos principais conceitos é o de par ordenado. Chamamos de par todo conjunto formado por dois elementos. Sendo assim {1, 2}, {5, 8}, {a, c} indicam pares, mas observe que pela teoria de conjunto quando invertemos a ordem dos elementos não produzimos um novo par, ou seja:
{5, 8} = {8, 5}
Mas nesse caso precisamos distinguir os pares ordenados pela ordem dos seus elementos. Sendo assim admitimos a noção de par ordenado como um conceito primitivo. Para cada elemento a e cada elemento b, admitiremos a existência de um terceiro elemento (a, b), que denominamos de par ordenado, de modo que se tenha:
\( \left(a, b\right) = \left(c, d\right) \Leftrightarrow a = c \; e \; b = d \)
Relação binária
Dados dois conjuntos A e B chamamos de relação binária de A em B, qualquer subconjunto R do produto cartesiano \(A \times B\). Se B = A todo subconjunto R de \(A \times A\) ou \(B \times B\) é chamado de relação binária em A ou relação binária sobre A. Uma relação \(R: A \rightarrow B\) é um conjunto de pares ordenados \(\left(x, y\right) \in A \times B\).
Chamamos de antecedentes os primeiros elementos dos pares da relação R e de imagens os segundos elementos dos pares da relação R.
- \(R: A \rightarrow B\): é lido como relação binária de A em B;
- A é o conjunto de partida da relação R;
- B é o contra-domínio de R (CD) também chamado de conjunto de chegada;
- Se o par ordenado \(\left(a, b\right) \in R\) indicamos aRb com a chamado de antecedente e b de imagem;
- Se o par ordenado \(\left(a, b\right) \notin R\) indicamos a\(\not{R}\)b (erre cortado);
- \(D_{R}\) é o conjunto formado pelos antecedentes da relação R;
- \(Im_{R}\) é o conjunto formado pelas imagens da relação R;
- lei de correspondência: é a propriedade que estabelece a relação entre os elementos de A e B.
Por exemplo:
Dados os conjuntos A = {1, 3, 0, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 11, 13}, e a relação \(R = \left\{\left(a, b\right) \in A \times B \; | \; a \; é \; divisor \; de \; b\right\}\).
- A = {1, 3, 0, 6} é o nosso conjunto de partida;
- B = {4, 5, 6, 7, 11, 13} é o contra-domínio;
- A lei de correspondência da relação é “a é divisor de b”
- O domínio (D) é o conjunto {2, 3, 6};
- A imagem é o conjunto {4, 6}.
Enumerando o nosso conjunto temos:
\[ R = \left\{\left(2, 4\right), \left(2, 6\right), \left(3, 6\right), \left(6, 6\right) \right\} \]
Referências:
Iezzi, Gelson. Fundamentos da matemática elementar, 1: conjuntos, funções / Gelson Iezzi, Carlos Murakami. – 9. ed. — São Paulo: Atual, 2013.
Aranha, Álvaro Zimmermann. Funções e logaritmos/Álvaro, Zimmermann Aranha, Manoel Benedito Rodrigues. -2.ed. rev. melhor. – São Paulo: Policarpo. 1994 – (Exercícios de matemática; v.2).
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