O que é uma equação quadrática?
Dizemos que uma equação quadrática, ou equação do segundo grau, na variável x, quando o polinômio de maior grau é dois. Uma equação que pode ser escrita na forma \[ax^{2} + bx + c = 0\], em que a, b e c são coeficientes reais, com \(a \neq 0\).
Exemplos de equações quadráticas
- \(3x^{2} – 4x + 7 = 0\), a, b e c \(\neq\) 0;
- \(5x^{2} – 125 = 0\), b = 0;
- \(x – x^{2} = 0\), c = 0;
- \(5(x – 3)(x + 1) = 0\), equação na forma fatorada.
A resolução de uma equação do segundo grau é facilitada quando os coeficientes b ou c é igual a zero. Mas existe uma forma mais fácil ainda que é quando o polinômio do segundo grau já esta na forma fatorada.
Como resolver equações do segundo grau na forma fatorada
Vamos resolver a seguinte equação: \[(x – 5)(x + 2) = 0\]. Precisamos, apenas, lembrar que:
se \(a \cdot b = 0\), então \(a = 0\) ou \(b = 0\).
Assim a equação \((x – 5)(x + 2) = 0\) nos permite duas possibilidades: x – 5 = 0 ou x +2 = 0.
- Supondo que x – 5 = 0, temos x = 5.
- Supondo que x + 2 = 0, temos x = – 2.
Assim as raízes \(x_{1}\) e \(x_{2}\) são 5 e -2.
Exercícios:
- \((x – 3)(5x – 7) = 0\)
- \(2(x + 8)(x + 4) = 0\)
- \((3x – 6)(x – 2) = 0\)
- \((x – \sqrt{3})(2x + 1) = 0\)
- \(\left(\frac{x}{4} + \frac{1}{3}\right)\left(\frac{x}{6} – \frac{1}{6} = 0 \right)\)
- \(x(10 – x) = 0\)
Solução para 1:
Para a equação (x-3)(5x – 7) = 0, temos duas possibilidades:
- Se x – 3 = 0, então x = 3.
- Se 5x – 7 = 0, então 5x = 7, donde \(x = \frac{7}{5}\)
Assim, as raízes são \(x_{1} = 3\) e \(x_{2} = 7\).
Demais resoluções estão no vídeo.
Como resolver equações do segundo grau com c = 0
Quando o coeficiente c é nulo, os dois termos do lado esquerdo possuem x assim podemos por essa variável em evidencia:
\(ax_{2} + bx + 0 = 0 \Rightarrow ax_{2} + bx = 0 \Rightarrow ax \cdot x + b \cdot x = 0 \Rightarrow x(ax + b) = 0\)
Assim temos dois casos:
- x = 0; ou
- ax + b = 0, o que implica em \(x = -\frac{b}{a}\)
Assim, as raízes são \(x_{1} = 0\) e \(x_{2} = -\frac{b}{a}\).
Exercícios:
- \(x^{2} + 5x = 0\)
- \(21x – 3x^{2} = 0\)
Como resolver equações do segundo grau com b = 0
Observe a seguinte equação do segundo grau: \[x^{2} – 25 = 0\]. Note que a equação tem coeficiente a = 1, b = 0 e c = -25.
O primeiro passo para resolução é isolar o termo constante que aparece do lado esquerdo:
\[x^{2} – 25 + 25 = 0 + 25 \Rightarrow x^{2} = 25 \],
neste caso \(5^{2}\) é solução e \((-5)^{2}\) também, logo:
\[x = \pm \sqrt{25}\Rightarrow \pm 5\].
Assim, as raízes são \(x_{1} = 5\) e \(x_{2} = -5\).
De modo geral a solução de uma equação na forma \[ax^{2} + c = 0 \Rightarrow ax^{2} = -c \Rightarrow x^{2} = -\frac{c}{a} \Rightarrow x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}\]
Exercícios
- \(x^{2} – 25 = 0\)
- \(\frac{x^{2}}{4} – 3 = 0\)
- \(64x^{2} + 256 = 0\)
- \((x – 7)^{2} – 81 = 0\)
Como resolver equações do segundo grau com todos os coeficientes diferentes de zero?
Para equação do tipo \(ax_{2} + bx + c = 0\), em que \(a \neq 0\) usamos a fórmula quadrática:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a}\)
Sempre que \(\Delta = b^{2} – 4ac \geq 0\) as raízes são reais. \(\Delta\) é chamado de discriminante da equação.
Como saber o número de soluções de uma equação quadrática?
Podemos saber isso através do discriminante \(\Delta\). Em uma equação \(ax^{2} + bx + c = 0\), em que \(a \neq 0\).
- Tem duas raízes reais distintas quando \(\Delta > 0\);
- Tem apenas uma raiz real quando \(\Delta = 0\);
- Não possuí solução real \(\Delta < 0\).
Exercícios
Encontre as raízes usando a fórmula quadrática.
- \(x^{2} – 3x – 10 = 0\)
- \(4x^{2} + 10x = 6\)
- \(3x^{2} – 24x + 48 = 0\)
- \(2x^{2} +3x + 6 = 0\)
Determine o número de raízes das equações sem resolvê-las.
- \(x^{2} + 4x – 12 = 0\)
- \(4x^{2} – 20x + 41 = 0\)
- \(\frac{-x^{2}}{2} + 8x – 32 = 0\)
Determine para que valores de k cada equação em x a seguir tem ao menos uma raiz real.
- \(3x^{2} + 2x + k = 0\)
- \(kx^{2} + 7x – 12 = 0\)
Determine para que valores de k a equação \(5x^{2} + kx + 45 = 0\), em x, tem apenas uma raiz real.
Equações redutíveis a forma quadrática
Digamos que se tenha uma equação do tipo:
\(4x^{4} – 25x^{2} + 36 = 0\)
é possível transformar essa equação em uma equação quadrática, basta lembrarmos que \(x^{4} = (x^{2})^{2}\). Usando esse artificio, podemos escrever:
\(4(x^{2})^{2} – 25(x^{2}) + 36 = 0\)
Substituindo \(x^{2}\) por y, obtemos:
\(4y^{2} – 25y + 36 = 0\)
Agora temos uma função quadrática e podemos usar a fórmula quadrática para resolver.
\(\Delta = 25^{2} – 4 \cdot 4 \cdot 36 = 49\)
\(y = \frac{-(-25) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = {25 \pm 7}{8}\)
Assim, as raízes são \(y_{1} = \frac{25 + 7}{8} = \frac{32}{8} = 4\) e \(y_{2} = \frac{25 – 7}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}\).
Agora lembra que \(y = x^{2}\) e considerar as possibilidades:
A primeira é que:
\(x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm \sqrt{4} = \pm 2\)
E a segunda é que:
\(x^{2} = \frac{4}{9} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{9}{4}} = \pm \frac{3}{2}\)
Assim, as raízes são \(x_{1} = 2\), \(x_{2} = -2\), \(x_{3} = \frac{3}{2}\), \(x_{4} = -\frac{3}{2}\).
Referências:
Gomes , Francisco Magalhães. Pré – cálculo : operações , equações , funções e sequências/Francisco Magalhães Gomes. – São Paulo, SP : Cengage Learning, 2018.
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