Como fazer demonstrações matemáticas por contraposição
Uma alternativa a prova direta é a prova por contraposição. Assim como a prova direta, contrapositiva é usada para provar declarações condicionais da forma “Se P, então Q”. Embora seja possível usar prova direta exclusivamente, há ocasiões em que a prova contrapositiva é muito mais fácil.
Se \(p\) então \(q\): essa é uma declaração condicional da forma \(P \Rightarrow Q\) nosso objetivo é mostrar que essa declaração é verdadeira. Das aulas de lógica sabemos que a implicação \(P \Rightarrow Q \) é logicamente equivalente a \(\sim Q \Rightarrow \sim P\). Observe a tabela verdade abaixo que verifica esse fato.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & \sim Q & \sim P & P \Rightarrow Q & \sim Q \Rightarrow \sim P \\ \hline \hline T & T & F & F & \mathbf{T} & \mathbf{T} \\ \hline T & F & T & F & \mathbf{F} & \mathbf{F} \\ \hline F & T & F & T & \mathbf{T} & \mathbf{T} \\ \hline F & F & T & T & \mathbf{T} & \mathbf{T} \\ \hline \end{array}
De acordo com a tabela \(P \Rightarrow Q\) e \(\sim Q \Rightarrow \sim P\) são duas formas diferente de expressar a mesma coisa. A segunda expressão é chamada de contrapositiva.
Quando iniciamos uma demonstração usando a contrapositiva, ou seja, mostrar que \(\sim Q \Rightarrow \sim P\) é verdadeira. Devemos assumir que \(\sim Q\) é verdadeiro e usar isso para deduzir que \(\sim P\) é verdadeiro.
Se \(p\) então \(q\).
Prova: Suponha \(\sim Q\).
Portanto, \(\sim P\).
A configuração da contrapositiva é bem simples, como você pode ver. Na primeira linha supomos que \(Q\) não é verdadeiro e com isso procedemos com a intenção de mostrar que devido a isso \(P\) não é verdadeiro também.
Proposição: Suponha \(x \in \mathbb{Z}\). Se (7 x+9) é par, então (x) é impar.
Prova. (Direta) Suponha que \(7 x+9\) é par.
Então \(7 x+9=2 a\) para um inteiro qualquer \(a\).
Subtraindo \(6 x+9\) de ambos os lados, obtemos \(x=2 a-6 x-9\).
Então \(x=2 a-6 x-9=2 a-6 x-10+1=2(a-3 x-5)+1\).
Consequentemente \(x=2 b+1\), onde \(b=a-3 x-5 \in \mathbb{Z}\).
Portanto \(x\) é ímpar.
Agora vamos ver a contrapositiva da mesma proposição:
Proposição: Suponha \(x \in \mathbb{Z}\). Se \(7 x+9\) é par, então \(x\) é impar.
Prova. (Contrapositiva) Suponha \(x\) não é impar.
então \(x\) é par, então \(x=2 a\) para algum inteiro \(a\).
Sendo assim, \(7 x+9=7(2 a)+9=14 a+8+1=2(7 a+4)+1\).
o que leva a \(7 x+9=2 b+1\), onde \(b\) é um inteiro \(7 a+4\).
Consequentemente \(7 x+9\) é ímpar.
Portanto \(7 x+9\) não é par.
Proposição
Suponha \(x \in \mathbb{Z}\). Se \(x^{2}-6 x+5\) é par, então \(x\).
Uma prova direta pode ser bem problemática. Vamos começar assumindo que \(x^{2}-6 x+5\) é par, então \(x^{2}-6 x+5=2 a\). Então nós precisamos transformar isso em \(x=2 b+1\) para todo \(b \in \mathbb{Z}\). Mas não esta muito claro como isso pode ser feito, poderíamos começar tentando isolar \(x\) na expressão quadrática. Contudo a prova se torna muito simples se usarmos a contrapositiva.
Proposição
Suponha que \(x \in \mathbb{Z}\). Se \(x^{2}-6 x+5\) é par, então \(x\) é impar.
Prova. (Contrapositiva) Suponha que \(x\) não é impar.
Sendo assim \(x\) é par, então \(x=2 a\) para algum inteiro \(a\).
Então \(x^{2}-6 x+5=(2 a)^{2}-6(2 a)+5=4 a^{2}-12 a+5=4 a^{2}-12 a+4+1=2\left(2 a^{2}-6 a+2\right)+1\).
Segue que \(x^{2}-6 x+5=2 b+1\), onde \(b\) é um inteiro qualquer \(2 a^{2}-6 a+2\).
Consequentemente \(x^{2}-6 x+5\) é ímpar.
Portanto \(x^{2}-6 x+5\) não é par.
Resumindo, desde que \(x\) não seja ímpar \((\sim Q)\) resulta em \(x^{2}-6 x+5\) que não é par ((\sim P)), então \(x^{2}-6 x+5\) sendo par \((P)\) significa que \(x\) é ímpar \(Q\). Assim provamos que \(P \Rightarrow Q\) usando (\sim Q \Rightarrow \sim P).
Vamos ver mais um exemplo
Proposição
Supondo que \(x, y \in \mathbb{R}\). Se \(y^{3}+y x^{2} \leq x^{3}+x y^{2}\), então \(y \leq x\).
Prova. (Contrapositiva) Suponha não válido que \(y \leq x\), então \(y>x\).
Sendo assim \(y-x>0\). Multiplicando ambos os lados por \(y-x>0\) pelo valor positivo \(x^{2}+y^{2}\).
\begin{aligned} (y-x)\left(x^{2}+y^{2}\right) &>0\left(x^{2}+y^{2}\right) \
y x^{2}+y^{3}-x^{3}-x y^{2} &>0 \\ y^{3}+y x^{2} &>x^{3}+x y^{2}
\end{aligned}
Portanto. (y^{3}+y x^{2}>x^{3}+x y^{2}), então não é válido que (y^{3}+y x^{2} \leq x^{3}+x y^{2}).
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