1. Se \(\lim x_{n}=a\) então \(\lim \left|x_{n}\right|=|a|\). Dê um contraexemplo mostrando que a recíproca é falsa, salvo quando \(a=0\).
2. Seja \(\lim x_{n}=0\). Para cada \(n\), ponha \(y_{n}=\min \left\{\left|x_{1}\right|,\left|x_{2}\right|, \ldots\right.\), \(\left.\left|x_{n}\right|\right\}\). Prove que \(y_{n} \rightarrow 0\).
3. Se \(\lim x_{2 n}=a\) e \(\lim x_{2 n-1}=a\), prove que \(\lim x_{n}=a\).
4. Se \(\mathbb{N}=\mathbb{N}_{1} \cup \mathbb{N}_{2} \cup \cdots \cup \mathbb{N}_{k}\) e \(\lim _{n \in \mathbb{N}_{1}} x_{n}=\lim _{n \in \mathbb{N}_{2}} x_{2}=\cdots=\) \(\lim _{n \in \mathbb{N}_{k}} x_{n}=a\), então, \(\lim _{n \in \mathbb{N}} x_{n}=a .\)
5. Dê exemplo de uma seqüência \(\left(x_{n}\right)\) e uma decomposição \(\mathbb{N}=\mathbb{N}_{1} \cup \cdots \cup \mathbb{N}_{k} \cup \ldots\) de \(\mathbb{N}\) como reunião de uma infinidade de subconjuntos infinitos tais que, para todo \(k\), a subseqüência \(\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{k}}\) tenha limite \(a\), mas não se tem \(\lim x_{n}=a\).
[Sugestão: Para cada \(k \in \mathbb{N}\) seja \(\mathbb{N}_{k}\) o conjunto dos números naturais da forma \(n=2^{k-1} \cdot m\), onde \(m\) é ímpar. Dado (n \in \mathbb{N}{k}\), ponha \(x{n}=1\) se \(n\) for o menor elemento de \(\mathbb{N}{k}) e (x{n}=\frac{1}{n}\), nos demais casos.]
6. Se \(\lim x_{n}=a\) e \(\lim \left(x_{n}-y_{n}\right)=0\) então \(\lim y_{n}\) é igual a a.
7. Seja \(a \neq 0\). Se \(\lim \frac{y_{n}}{a}=1\) então \(\lim y_{n}\) é igual a \(a\).
8. Seja \(b \neq 0\). Se \(\lim x_{n}=a\) e \(\lim \frac{x_{n}}{y_{n}}=b\), então, \(\lim y_{n}=\frac{a}{b}\)
9. Se \(\lim x_{n}=a \neq 0\) e \(\lim x_{n} y_{n}=b\) então \(\lim y_{n}=\frac{b}{a}\).
10. Sejam \(k \in \mathbb{N}\) e \(a>0\). Se \(a \leq x_{n} \leq n^{k}\) para todo \(n\), então \(\lim \sqrt[n]{x_{n}}=1\)
11. Use a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica dos \(n+1\) números \(1-1 / n, \ldots, 1-1 / n, 1\) e prove que a seqüência \((1-1 / n)^{n}\) é crescente. Conclua que \((1-1 / n)^{n} \geq 1 / 4\) para todo \(n>1\).
1a. Sejam \(x_{n}=(1+1 / n)^{n}\) e \(y_{n}=(1-1 /(n+1))^{n+1}\). Mostre que \(\lim x_{n} y_{n}=1\) e deduza daí que \(\lim (1-1 / n)^{n}=e^{-1}\).
12. Fazendo \(y=x^{1 / k}\) e \(b=a^{1 / k}\) na identidade \(y^{k}-b^{k}=\) \((y-b) \cdot \sum_{i=0}^{k-1} y^{i} b^{k-i-1}\) obtenha \(x-a=\left(x^{1 / k}-a^{1 / k}\right) \cdot \sum_{i=0}^{k-1} x^{i / k}\). \(a^{1-(i+1) / k}\) e use isto para provar que se \(\lim x_{n}=a>0\), então \(\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[k]{x_{n}}=\sqrt[k]{a}\). Conclua, daí, que \(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}\right)^{r}=a^{r}\) para todo racional \(r\).
13. Prove que, para todo \(r \in \mathbb{Q}\), tem-se \(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n}=e^{r}\). [Sugestão: Pelo Exercício 11, basta considerar o caso em que \(r=\frac{p}{q}\) é \(>0\). Examine a subsequência onde \(n=p \cdot m\). Para esses valores de \(n\), tem-se \(\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n}=\) \(\left[\left(1+\frac{1}{q m}\right)^{q m}\right]^{p / q}\). Use o Exercício 12. ]
14. Seja \(a \geq 0, b \geq 0\). Prove que \(\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}=\max {a, b}\).
15. Dada uma sequência \(\left(x_{n}\right)\), um termo \(x_{p}\) chama-se um “termo destacado” quando \(x_{p} \geq x_{n}\) para todo \(n>p\). Seja \(P=\left\{p \in \mathbb{N} ; x_{p}\right\}\) é destacado. Se \(P=\left\{p_{1}<p_{2}<\ldots\right\}\) for infinito, \(\left(x_{p}\right)_{p \in P}\) é uma subsequência não-crescente de \(\left(x{n}\right)\). Se \(P\) for finito (em particular, vazio), mostre que existe uma subsequência crescente de \(\left(x_{n}\right)\). Conclua que toda sequência possui uma subsequência monótona.
16. Seja \(\left(x_{n}\right)\) uma seqüência limitada. Se \(\lim a_{n}=a\) e cada \(a_{n}\) é um valor de aderência de \(\left(x_{n}\right)\), então a é um valor de aderência de \(\left(x_{n}\right)\).
17. Sejam \(\left(x_{n}\right)\) e \(\left(y_{n}\right)\) seqüências limitadas. Ponhamos \(a=\liminf {n}, \quad A=\lim \sup {n}, \quad b=\liminf y_{n}\) e \(B=\limsup y_{n}\). Prove que
a) \(\limsup \left(x_{n}+y_{n}\right) \leq A+B \quad \liminf \left(x_{n}+y_{n}\right) \geq a+b\);
b) \(\limsup \left(-x_{n}\right)=-a, \quad \liminf \left(-x_{n}\right)=-A\);
c) \(\limsup \left(x_{n} \cdot y_{n}\right) \leq A \cdot B\) e \(\liminf \left(x_{n} \cdot y_{n}\right) \geq a b\);
valendo as duas últimas desigualdades sob a hipótese de \(x_{n} \geq 0\) e \(y_{n} \geq 0\). Dê exemplos em que se tenham desigualdades estritas nas relações acima.
18. Para cada \(n \in \mathbb{N}\), seja \(0 \leq t_{n} \leq 1\). Se \(\lim x_{n}=\lim y_{n}=a\), prove que \(\lim \left[t_{n} x_{n}+\left(1-t_{n}\right) y_{n}\right]=a\).
19. Diz-se que uma seqüência \(\left(x_{n}\right)\) tem variação limitada quando a seqüência \(\left(v_{n}\right)\) dada por \(v_{n}=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i+1}-x_{i}\right|\) é limitada. Prove que, nesse caso, \(\left(v_{n}\right)\) converge. Prove também:
a) Se \(\left(x_{n}\right)\) tem variação limitada, então existe \(\lim x_{n}\);
b) Se \(\left|x_{n+2}-x_{n+1}\right| \leq c\left|x_{n+1}-x_{n}\right|\) para todo \(n \in \mathbb{N}\) com \(0 \leq c<1\), então \(\left(x_{n}\right)\) tem variação limitada;
c) \(\left(x_{n}\right)\) tem variação limitada se, e somente se, \(x_{n}=y_{n}-z_{n}\) onde \(\left(y_{n}\right)\) e \(\left(z_{n}\right)\) são sequências não decrescentes limitadas;
d) Dê exemplo de uma sequência convergente que não seja de variação limitada.
20. Seja \(x_{1}=1\) e ponha \(x_{n+1}=1+\frac{1}{x_{n}}\). Verifique que \(\left|x_{n+2}-x_{n+1}\right| \leq \frac{1}{2}\left|x_{n+1}-x_{n}\right|\). Conclua que existe \(a=\lim x_{n}\) e determine \(a\).
21. Ponha \(x_{1}=1\) e defina \(x_{n+1}=1+\sqrt{x_{n}}\). Mostre que a sequência \(\left(x_{n}\right)\), assim obtida, é limitada. Determine \(a=\lim x_{n}\).
22. A fim de que a seqüência \(\left(x_{n}\right)\) não possua subseqüência convergente é necessário e suficiente que \(\lim \left|x_{n}\right|=+\infty\).
23. Seja \(\varphi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) uma seqüência de números naturais. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
a) \(\lim _{n \rightarrow \infty} \varphi(n)=+\infty\);
b) Para todo \(k \in \mathbb{N}, \varphi^{-1}(k)\) é um subconjunto finito de \(\mathbb{N}\);
c) Para todo subconjunto finito \(F \subset \mathbb{N}, \varphi^{-1}(F)\) é finito.
Em particular, se \(\varphi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) for injetiva, então \(\lim _{n \rightarrow \infty} \varphi(n)=+\infty\).
24. Seja \(\left(x_{n}\right)\) uma sequência de números reais e suponha que \(\varphi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) cumpre uma das (e portanto todas as) condições do exercício anterior. Prove que se \(\lim x_{n}=a\) e \(y_{n}= x_{\varphi(n)}\), então \(\lim y_{n}=\) a. Dê exemplo de \(\varphi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) sobrejetiva, tal que \(\lim x_{n}=a\), mas não vale \(\lim y_{n}=a\), onde \(y_{n}=x_{\varphi(n)}\).
25. Seja \(x_{n} \neq 0\) para todo \(n \in \mathbb{N}\). Se existirem \(n_{0} \in \mathbb{N}\) e \(c \in \mathbb{R}\) tais que \(0<\left|\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right| \leq c<1) para todo (n>n_{0}\), então \(\lim x_{n}=0\). Se porém \(\left|\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right| \geq c>1\) para todo \(n>n_{0}\), então \(\lim \left|x_{n}\right|=+\infty\). Como aplicação, reobtenha os Exemplos 21 e 22 e mostre que \(\lim \frac{n !}{n^{n}}=0\).
26. Seja \(T\) um arranjo triangular de números não-negativos,
\(\mathrm{t}_{11}\)
\(t_{21} \quad t_{22}\)
\(……………..\)
\(\begin{array}{lll}t_{31} & t_{32} & t_{33}\end{array}\)
\(……………..\)
Faça duas hipóteses sobre o arranjo \(T\). Primeira: cada linha tem soma igual a 1 . Segunda: cada coluna tem limite zero: \(\lim _{n \rightarrow \infty} t_{n i}=0\) para todo \(i \in \mathbb{N}\). Dada uma seqüência convergente \(\left(x_{n}\right)\), com \(\lim x_{n}=a\), use o arranjo \(T\) para transformá-la numa seqüência \(\left(y_{n}\right)\), com
$$ y_{n}=t_{n 1} x_{1}+t_{n 2} x_{2}+\cdots+t_{n n} x_{n} . $$
Prove que \(\lim y_{n}=a\).
[Sugestão: Considere inicialmente o caso \(\mathrm{a}=0\). Dado \(\varepsilon>0\), existe \(p \in \mathbb{N}\) tal que \(n>p \Rightarrow\left|x_{n}\right|<\varepsilon / 2\). Existe também \(A>0\), tal que \(\left|x_{n}\right|<A\) para todo \(n\). Em seguida, obtenha \(\mathrm{q} \in \mathbb{N}\), tal que \(\mathrm{n}>\mathrm{q} \Rightarrow\left|\mathrm{t}_{\mathrm{n} 1}\right|<\delta, \quad\left|\mathrm{t}_{\mathrm{n} 2}\right|<\) \(\delta, \ldots,\left|t_{n p}\right|<\delta\), onde \(\delta=\frac{\varepsilon}{2 p A}\). Tome \(n_{0}=\max \{p, q\}\).
Observe que \(n>n_{0} \Rightarrow\left|y_{n}\right| \leq t_{n 1}\left|x_{1}\right|+\cdots+t_{n p}\left|x_{p}\right|+\) \(\cdots+t_{n n}\left|x_{n}\right|\), onde a soma das \(p\) primeiras parcelas não excede \(\varepsilon / 2\) e a soma das \(n-p\) parcelas restantes não supera \(\left(t_{n, p+1}+\cdots+t_{n n}\right) \frac{\varepsilon}{2} \cdot \log 0,\left|y_{n}\right|<\varepsilon\). O caso geral reduz-se imediatamente a este.]
27. Se \(\lim x_{n}=a\), pondo \(y_{n}=\frac{x_{1}+\cdots+x_{n}}{n}\), tem-se ainda \(\lim y_{n}=a\). (Sugestão: Use o exercício anterior.)
28. Se \(\lim x_{n}=a\), e os \(x_{n}\) são todos positivos, então \(\lim \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \ldots x_{n}}=a . \quad\) [Sugestão: Tome logaritmos e reduza ao problema anterior.] Conclua que se \(a_{n}>0\) e \(\lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\) a então \(\lim \sqrt[n]{a_{n}}=a\).
29. Seja \(y_{n}>0\) para todo \(n \in \mathbb{N}\), com \(\Sigma y_{n}=+\infty\). Se \(\lim \frac{x_{n}}{y_{n}}=\) a então \(\lim \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}}=a\).
30. Se \(\left(y_{n}\right)\) é crescente e \(\lim y_{n}=+\infty\), então \(\lim \frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}=\) \(\mathrm{a} \Rightarrow \lim \frac{x_{n}}{y_{n}}=a\). (Use o Exercício 29.)
31. \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{p}+2^{p}+\cdots+n^{p}}{n^{p+1}}=\frac{1}{p+1} \cdot\) (Use o exercício anterior.)
32. Para todo \(n \in \mathbb{N}\), tem-se \(0<e-\left(1+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\cdots+\frac{1}{n !}\right)<\) \(\frac{1}{n ! n}\). Conclua daí que o número e é irracional.
33. \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2} \sqrt[n]{(n+1)(n+2) \ldots 2 n}=\frac{4}{e} \quad\) (Use o final do Exercício 28.)
34. Prove que se definirmos \(a_{n}\) pela igualdade \(n !=n^{n} \cdot e^{-n} \cdot a_{n}\), teremos \(\lim \sqrt[n]{a_{n}}=1\).
35. Seja \(\Sigma a_{n}\) e \(\Sigma b_{n}\) séries de termos positivos. Se \(\Sigma b_{n}=+\infty\) e existe \(n_{0} \in \mathbb{N}\) tal que \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \geq \frac{b_{n+1}}{b_{n}}\) para todo \(n>n_{0}\) então \(\Sigma a_{n}=+\infty\).
36. Sejam \(\Sigma a_{n}\) e \(\Sigma b_{n}\) series de termos positivos. Se \(\lim \frac{a_{n}}{b_{n}}=0\) e \(\Sigma b_{n}\) converge então \(\Sigma a_{n}\) converge. Se \(\lim \frac{a_{n}}{b_{n}}=c \neq 0\) então \(\Sigma a_{n}\) converge se, e somente se, \(\Sigma b_{n}\) converge.
37. Para todo polinômio \(p(x)\) de grau superior a 1 , a série \(\sum \frac{1}{p(n)}\) converge.
38. Se \(-1<x<1\) e \(\left(\begin{array}{c}m \\ n\end{array}\right)=\frac{m(m-1) \ldots(m-n+1)}{n !}\) então \(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\begin{array}{l}m \\ n\end{array}\right) x^{n}=0\) para quaisquer \(m \in \mathbb{R}\) e \(n \in \mathbb{N}\).
39. Se a seqüência \(\left(a_{n}\right)\) é não-crescente e \(\lim a_{n}=0\), o mesmo ocorre com \(b_{n}=\frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{n}\). Conclua que, neste caso, a série \(a_{1}-\frac{1}{2}\left(a_{1}+a_{2}\right)+\frac{1}{3}\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)-\ldots\) é convergente.
40. Prove que, para todo \(a \in \mathbb{R}\), a série \(a^{2}+\frac{a^{2}}{1+a^{2}}+\) \(\frac{\mathrm{a}^{2}}{\left(1+\mathrm{a}^{2}\right)^{2}}+\ldots\) é convergente e calcule sua soma.
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