Caderno do aluno 1 ano, 3 bim. – Aulas 3 e 4 – Desenvolvendo Produtos Notáveis – Respostas

a. (x + 8) ( x – 8)

O quadrado do primeiro tormo, menos o quadrado do segundo tormo.

$$ (x+8)(x-8)=(x)^{2}-(8)^{2}=x^{2}-64 $$

b. (4x² + 7y) (4x² – 7y)

O quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

$$ \left(4 x^{2}+7 y\right)\left(4 x^{2}-7 y\right)=\left(4 x^{3}\right)^{2} \cdot(7 y)^{2}=16 x^{4}-49 y^{2}.$$

c. (4m + 3)³

O cubo do primeiro termo, mais trôs vezes o quadrado do primeiro tormo vezes o segundo tormo, mais trôs vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo termo.

$$ (4 m+3)^{3}=(4 m)^{3}+3(4 m)^{2}(3)+3(4 m)(3)^{2}+3^{3}=64 m^{3}+144 m^{2}+108 m+27 $$

d. (x – 2)³

O cubo do primeiro termo, menos tres vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo tormo, mais trôs vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo tormo, menos o cubo do segundo tormo.

$$ (x-2)^{3}=(x)^{3}-3(x)^{3}(2)+3(x)(2)^{3}-2^{3}=x^{3}-6 x^{2}+12 x-8 . $$

e. (2b + 3c)²

O quadrado do primeiro tormo, mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
$$(2 b+3 c)^{2}=(2 b)^{2}+2(2 b)(3 c)+(3 c)^{2}=4 b^{2}+12 b c+9 c^{2} $$

f. (h – 3)²

O quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo polo segundo, menos o quadrado do sogundo tormo.

$$(h-3)^{2}=(h)^{2}-2(h)(3)+(3)^{2}=h^{2}-6 h+9$$

3. Escreva uma expressão algébrica que represente a medida da área.

Resposta:

O quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

$$ (p+8)(p-8)=p^{2}-64 $$

4. (SAESP, 2019 – Adaptado) Os conjuntos de pontos abaixo estão organizados obedecendo a um padrão.

Considerando n a posição que o desenho ocupa nessa sequência e P o número de bolinhas de cada desenho ocupa nessa sequência e P o número de bolinhas de cada desenho, qual é a expressão que permite obter o número de bolinhas para um desenho qualquer dessa sequência?

Resposta:

$$ \mathrm{P}=\mathrm{n}^{2} $$

Um possível raciocínio é \(1^{2}=1,2^{2}=4,3^{2}=9\) e \(4^{2}=16\).

5. (SARESP, 2010 – Adaptado) Observe as duas listas de expressões:

A) \((x-3)^{2}\)

B) \((x+3)(x-3)\)

C) \((x+3)^{2}\)

D) \((x+3)(x+1)\)

Associe com:

I) \(x^{2}-9\)

II) \(x^{2}+4 x+3\)

III) \(x^{2}+6 x+9\)

IV) \(x^{2}-6 x+9\)

As expressões equivalentes são:

a. A – I; B – II; C – IV; D – III.
b. A – II; B – III; C – IV; D – I.
c. A – IV; B – II; C – III; D – I.
d. A – IV; B – I; C – III; D – II.

Resposta:

Precisamos desenvolver os produtos e fatorar os polinômios para efetuar as respectivas associações.

a. \((x-3)^{2}=x^{2}-6 x+9\)

b. \((x+3)(x-3)=x^{2}-3 x+3 x-9=x^{2}-9\)

c. \((x+3)^{2}=x^{2}+6 x+9\)

d. \((x+3)(x+1)=x^{2}+x+3 x+3=x^{2}+4 x+3\)

Logo, a alternativa correta é a letra d.

6. (SARESP, 2012) As figuras abaixo representam caixas numeradas de 1 a n, contendo bolinhas. A
quantidade de bolinhas varia em função do número de cada caixa.

A expressão que representa a “caixa n” é:

a. \(n^{2}\).

b. \((n-1)^{2}\).

C. \((n+1)^{2}\).

d. \(n+1\).

Resposta:

$$ \begin{aligned} &(1+1)^{2}=4 \\ &(2+1)^{2}=9 \\ &(3+1)^{2}=16 \\ &(n+1)^{2}=? \end{aligned} $$

A alternativa correta é a letra c.

7. O trinômio é um polinômio que possui três termos não semelhantes. A seguir, utilize a estratégia do trinômio do quadrado perfeito e fatore os polinômios.

i. \(p^{2}+2 p q+q^{2}\)
ii. \(y^{2}+6 y+9\)

Resposta:

i) \(p^{2}+2 p q+q^{2}=p^{2}+p q+p q+q^{2}=p(p+q)+q(p+q)=(p+q)(p+q)=(p+q)^{2}\). A forma fatorada é \((p+q)^{2}\).

ii) \(y^{2}+6 y+9=y^{2}+3 y+3 y+9=y(y+3)+3(y+3)=(y+3)(y+3) = (y+3)^{2}\). A forma fatorada é \((y+3)^{2}\).

8. Utilizando a estratégia da diferença de dois quadrados, fatore os polinômios a seguir.

i. \(m^{2}-n^{2}\)
ii. \(9 x^{2}-4 z^{2}\)

Resposta:

i) \(m^{2}-n^{2}=m^{2}-m n+m n-n^{2}=\sqrt{m^{2}}-\sqrt{n^{2}}=m-n\). A forma fatorada é \((m+n)(m-n)\).

ii) \(9 x^{2}-4 z^{2}=9 x^{2}-6 x z+6 x z-4 z=\sqrt{9 x^{2}}-\sqrt{4 z^{2}}=3 x-2 z\). A forma fatorada é \((3 x+2 z)(3 x-2 z)\).

9. Utilizando a estratégia diferença ou soma de dois cubos, fatore os polinômios a seguir.

i. \(u^{3}-v^{3}\)
ii. \(n^{3}+8\)

Resposta:

i) \(u^{3}-v^{3}=(u-v)\left(u^{2}+u v+v^{2}\right) A\) forma fatorada é \((u-v)\left(u^{2}+u v+v^{2}\right)\)

Fazendo \((u-v)\left(u^{2}+u v+v^{2}\right)=u^{3}+u^{2} v+u v^{2}-u^{2} v-u v^{2}-v^{3}\).

ii) \(n^{3}-8=n^{3}+2^{3}=n^{3}+2^{3}(n+2)\left(n^{2}-n \cdot 2+2^{2}\right)=n^{3}+2^{3}=(n+2)\left(n^{2}-2 n+4\right)\).

10. Qualquer expressão algébrica formada pela adição de monômios é denominada de polinômio, já os produtos notáveis são multiplicações em que os fatores são polinômios. Sendo assim, os itens a seguir são produtos notáveis e em cada item, por meio das estratégias de fatoração utilizadas nas atividades anteriores, desenvolva o quadrado da soma ou diferença de dois termos.

a. \((u+2)^{2}\)

b. \((x+3 y)^{2}\)

c. \((3 p-4 q)^{2}\)

d. \((7 v-x)^{2}\)

Resposta:

a) \((u+2)^{2}=(u+2)(u+2)=u^{2}+2 u+2 u+4=u^{2}+4 u+4\).

b) \((x+3 y)^{2}=(x+3 y)(x+3 y)=x^{2}+3 x y+3 x y+9 y^{2}=x^{2}+6 x y+9 y^{2}\).

c) \((3 p-4 q)^{2}=(3 p-4 q)(3 p-4 q)=9 p^{2}-12 p q-12 p q+16 q^{2}=9 p^{2}-24 p q+16 q^{2}\).

d) \((7 v-x)^{2}=(7 v-x)(7 v-x)=49 v^{2}-7 v x-7 v x+x^{2}=49 v^{2}-14 v x+x^{2}\)

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Veja também:  Caderno do aluno 1 ano, 3 bim. - Aulas 7 e 8 - Resolução de Equações Utilizando Fatoração - Respostas

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