O que é módulo de um número?
O módulo de um número nada mais é do que o valor absoluto. Ou seja, é sempre positivo.
Definição de módulo
Seja x um número real, definimos módulo de x por:
\( \begin{cases} x & \text{ se } x \geq 0 \\ -x & \text{ se } x < 0 \end{cases} \)
Podemos observar que pela definição acima não importa qual seja o x, \(x \in \mathbb{R} \) \(|x| \geq 0 \), ou seja, é sempre positivo. Vejamos:
|5| = 5
|-5| = -(-5) = 5
Agora mostraremos que para todo x real, \(|x|^{2} = x^{2}\).
Demonstração:
Se \(x \geq 0 \), |x| = x e daí, \(|x|^{2} = x^{2}\).
Se x < 0, |x| = -x e daí \(|x|^{2} = (-x)^{2} = x^{2}\).
Sendo assim para todo x real temos que: \(|x|^{2} = x^{2}\).
Observe que \(\sqrt{a}\) indica a raiz quadrada positiva de a \( \left(a \geq 0\right) \), portanto, segue da definição de módulo que:
\( \sqrt{a^{2}} = |x|)\)
Referências:
Guidorizzi, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo, vol. 1 / Hamilton Luiz Guidorizzi, – 5.ed. – Rio de Janeiro: LTC, 2013. 380p.
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