Resolução do livro Geraldo Ávila: análise matemática para licenciatura.
1) Escreva os cinco primeiros termos de cada uma das seguintes sequências:
a) \(a_{n}=\frac{n}{n+1}\);
b) \(a_{n}=3+2(-1)^{n}\)
c) \(a_{n}=\frac{n}{n^{2}+1}\);
d) \(a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n+2}\).
2) Em cada um dos casos seguintes, são dados os primeiros termos de uma sequência. Supondo que persista a tendência observada em cada caso, escreva a forma geral de cada uma das sequências.
a) \(1 / 2,2 / 3,3 / 4,4 / 5, \ldots \);
b) \(1,-1 / 2,1 / 3,-1 / 4 \ldots\);
c) \(1,1 / 4,1 / 9,1 / 16, \ldots\);
d) \(1,-1 / 2,1 / 6,-1 / 24,1 / 120, \ldots\)
3) Use a definição de sequência limitada para provar que
a) \(\lim \frac{n}{n^{2}+1}=0\)
b) \(\lim \frac{2 n^{2}}{n^{2}+7}=2\);
c) \(\lim \frac{3 n \sqrt{n}}{n \sqrt{n}+5}=3\).
4) Descubra o limite de cada uma das sequências seguintes e, em seguida, demonstre que o suposto limite satisfaz a Definição de limite de uma sequência.
a) \(a_{n}=\frac{n \cos \sqrt{n^{2}+7}}{n^{2}+1}\);
b) \(a_{n}=\frac{\sqrt{n}(1+8 \sqrt{n})}{4 n-1}\);
c) \(a_{n}=\frac{n^{3}-1}{2 n^{3}-n}\).
5) (Unicidade do limite) Prove que uma sequencia só pode convergir para um único limite.
6) Prove que se \(a_{n}\) tem limite \(L\), então \(\left|a_{n}\right|\) tem limite \(|L|\). Dê exemplo de uma sequência \(\left(a_{n}\right)\) tal que \(\left|a_{n}\right|\) converge, mas não (a_{n}).
7) Sejam \(\left(a_{n}\right)\) e \(\left(b_{n}\right)\) duas sequências tais que \(\left|a_{n}-a\right|<C\left|b_{n}\right|\), onde \(a\) é um certo número real e \(C\) uma constante positiva. Usando a definição de limite, mostre que se \(b_{n} \rightarrow 0\) então \(a_{n} \rightarrow a\).
8) Prove que se \(\left(a_{n}\right)\) é uma sequência que converge para zero e \(\left(b_{n}\right)\) uma sequência limitada, não necessariamente convergente, então \(\left(a_{n} b_{n}\right)\) converge para zero.
9) Prove que a sequência \(a_{n}=\sqrt{n}+h-\sqrt{n}\)
10) Faça o mesmo para a sequência \(a_{n}=a^{n}\), onde \(0 < a < 1\).
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